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Zahlentheorie » Primzahlen - sonstiges » Steigung der Primzahlfunktion
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Kein bestimmter Bereich Steigung der Primzahlfunktion
JamRock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-24


Hallo zusammen,

ich habe ein paar Fragen bzgl. der Primzahlfunktion (prime-counting function) und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte, der sich mit dem Gebiet auskennt...

Und zwar:
sind irgendwelche Aussagen über die Steigung der Primzahlfunktion bekannt?
Oder insbesondere die Steigung der Primzahlfunktion in Richtung unendlich?
Oder die Steigung von Li(x) in Richtung unendlich?
Oder irgendetwas Vergleichbares?

Ich finde dazu leider nichts...(?!)

Zudem zähle ich vermutlich zu den allseits gefürchteten Hobby-Mathematikern mit wenig Ahnung, aber glaubend, evtl. eine interessante Entdeckung gemacht zu haben... :)

Daher auch die Frage: wäre es in irgendeiner Form wertvoll, diese Steigung zu kennen bzw. eine Formel für die Berechnung der Steigung in Richtung unendlich zu kennen, und wenn ja warum, und für welche mathematischen Bereiche oder Probleme könnte dies ein interessanter Beitrag sein?


Vielen Dank im Voraus!!
Viele Grüße,
Jens


P.S. nicht gemeint ist damit eine Aussage wie "nimm einfach π(x) und π(y)"... :)



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-24


Hilft dies ?




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-24


2020-02-24 00:21 - JamRock im Themenstart schreibt:
P.S. nicht gemeint ist damit eine Aussage wie "nimm einfach π(x) und π(y)"... :)

Doch, doch, das geht schon so: Nimm einfach $\pi(x)$ und $\pi(y)$ für irgendwelche $x,y\in\mathbb R$, sodass $x<y$ und $[x,y] \cap \mathbb P=\emptyset$, d.h., das Intervall $[x,y]$ sollte keine Primzahlen enthalten. Was lässt sich dann über die Steigung
\[\frac{\pi(y)-\pi(x)}{y-x}\] bzw. auch über den Grenzwert $y\to x$ aussagen?

Bezüglich
\[Li(x):=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}\] muss man für die Bildung von Li$(x)'$ nur eine ähnlich einfache Frage beantworten: Was erhält man, wenn man eine Funktion wie hier $f(x)=1/\ln x$ zuerst nach $x$ integriert und dann gleich wieder differenziert?  😎



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JamRock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-24


@pzktupel:
Vielen Dank für den Link! Dort findet man tatsächlich ein paar sehr interessante Dinge und auch sehr gute weiterführende Links...! Das hat mir schon etwas geholfen...

@weird:
Auch Dir vielen Dank für die Antwort!
OK, ja, ich verstehe - die Frage bzgl. Li(x) war nicht so schlau... :)

Aber worauf ich hinaus will:
Ich denke, dass ich eine sehr gute Annäherung an die Primzahlfunktion, oder eben Li(x), gefunden habe, und meine Formel für diese Annäherung basiert im Prinzip nur auf Primzahlen selbst. Sprich, ich könnte Dir für bestimmte Punkte auf den Funktionen eine sehr gute Annäherung der Steigung nennen und auch dazu sagen, für welchen Bereich sie eine gute Annäherung darstellt und dies mit einer Formel, die ganz einfach und wunderschön ist... :)

Denkst Du, dass das ein interessantes, relevantes Ergebnis ist?
Merkwürdigerweise finde ich nirgendwo etwas Vergleichbares - dabei ist es so trivial, dass es weh tut - es kann eigentlich nicht sein, dass es nicht schon entdeckt wurde... Es scheint also entweder ein ganz neuer Ansatz, der einfach übersehen wurde, oder totaler Quatsch zu sein... :D

Wie würdest Du in so einem Fall an meiner Stelle vorgehen?
Wie veröffentlicht man so etwas am besten?
Ich denke, ich bräuchte eigentlich erst mal einen Mathematiker, dem ich vertrauen kann, und der echt viel Ahnung von der Materie hat, und der sich das anschaut und ggf. in die richtige Form bringt, um ggf. irgendwo eingereicht zu werden - ohne es zu klauen... :)
Oder meinst Du, ich sollte so etwas einfach "irgendwo" online posten und schauen, was passiert? :)

Vielen Dank im Voraus,
Jens



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-24


2020-02-24 17:32 - JamRock in Beitrag No. 3 schreibt:
Denkst Du, dass das ein interessantes, relevantes Ergebnis ist?
Merkwürdigerweise finde ich nirgendwo etwas Vergleichbares - dabei ist es so trivial, dass es weh tut - es kann eigentlich nicht sein, dass es nicht schon entdeckt wurde... Es scheint also entweder ein ganz neuer Ansatz, der einfach übersehen wurde, oder totaler Quatsch zu sein... :D

Naja, ohne dass weitergehende Angaben dazu machst, kann man das natürlich nicht beurteilen. Allerdings, dass die Treppenfunktion $\pi(x)$ für alle $x\in\mathbb R$, welche nicht Primzahlen, also dann keine "Sprungstellen" von $\pi(x)$ sind, die Steigung 0 hat oder auch, dass die Beziehung Li'$(x)=1/\ln(x)$ gilt, diese Tatsachen sind ja eigentlich auch so "trivial, dass es weh tut", um mit deinen Worten zu sprechen. Insofern darf man jetzt schon ein bisschen skeptisch sein, was die Relevanz deiner Ergebnisse betrifft.


Wie würdest Du in so einem Fall an meiner Stelle vorgehen?
Wie veröffentlicht man so etwas am besten?
Ich denke, ich bräuchte eigentlich erst mal einen Mathematiker, dem ich vertrauen kann, und der echt viel Ahnung von der Materie hat, und der sich das anschaut und ggf. in die richtige Form bringt, um ggf. irgendwo eingereicht zu werden - ohne es zu klauen... :)
Oder meinst Du, ich sollte so etwas einfach "irgendwo" online posten und schauen, was passiert? :)

Ich denke, wenn du deine Gedanken dazu hier darlegst, sei es in einem Thread, wie diesem, oder auch in einem eigenen Artikel, sofern Matroid dazu seine Zustimmung gibt, so kann ich mir schwer vorstellen, dass jemand dir unter Verweis darauf die Priorität streitig machen kann. Insofern wäre das eigentlich der naheliegende Weg und auch der einzige, wo ich persönlich mich ev. mit Ratschlägen zu Wort melden würde, falls mir etwas dazu einfällt. Ansonsten besteht auch die Möglichkeit der Veröffentlichung in diversen Internetmedien wie z.B. dem arxiv, doch habe ich selbst keine Erfahrung damit und es können dir andere daher sicher mehr dazu sagen.



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