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Mathematik » Topologie » Zeigen, dass die Vektoraddition stetig ist
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Universität/Hochschule J Zeigen, dass die Vektoraddition stetig ist
Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-24


Guten Tag,

Ich besuche gerade neue eine Topologie Vorlesung und aktuell ist mir ziemlich viel noch unklar. Ich soll aber folgende Aufgabe lösen:

Sei \(V\) ein reeller Vektorraum, dann wird \(V\) zu einem topolgischen Raum mit der durch die Norm definierte Abbildung. Ich soll nun zeigen, dass die Vektoraddition eine stetige Abbildung ist und dass wenn V endlich dimensional ist, dann hängt die Topologie nicht von der Auswahl der Norm ab. Ich verstehe jedoch nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll, da wir ja gar keine Abbildung haben... Ausserdem haben wir ja die Definition, dass eine Abbildung stetig ist, wenn die Urbilder offener Mengen offen sind - jedoch wie kann ich diese hier anwenden?

Vielen Dank für euere Hilfe
Gruss,
Math_user



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-24

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Hallo Math_user,

du sollst vermutlich die Stetigkeit der Abbildungen $f_a:V\to V,~x\mapsto a+x$ für alle $a\in V$ zeigen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-24


2020-02-24 17:15 - Math_user im Themenstart schreibt:
Ich verstehe jedoch nicht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll, da wir ja gar keine Abbildung haben...

Du hast sogar zwei Abbildungen.

Erstens die Norm \(V\rightarrow\IR^{\geq0}\), \(x\mapsto||x||\)

Zweitens die Vektoraddition \(V\times V\rightarrow V,(x,y)\mapsto x+y\)

Durch die Norm wird eine Topologie auf V und auf \(V^2\) definiert. Du sollst zeigen, dass die Addition bzgl. dieser Topologien stetig (nicht offen!) ist.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-24


Vielen Dank für eure Antworten.

@StrgAltEntf, vielen Dank für den Hinweis - war ein Tippfehler. Nun gut genau diese Abbildung habe ich auch beim recherchieren gefunden aber ich kam nicht darauf, weshalb es diese Abbildung ist.. Aber nun gut, ich habe gesehen, dass sie bewiesen, dass diese Abbildung stetig ist mit \(\epsilon, \delta\) und der Dreiecksungleichung aber kann ich dies auch mit der offenen Menge tun? Also sprich "topologisch"...



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-24


Bei der Norm musst du wohl eh mit Epsilons und Deltas hantieren. Was spricht also dagegen?



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-24


Hallo,

falls gewünscht, kann man das aber tatsächlich ohne $\epsilon$-$\delta$ Kriterium lösen. Eine Teilmenge $U\subseteq V$ ist ja genau dann offen bzgl. der von der Norm induzierten Topologie, wenn es zu jedem $x\in U$ ein $r>0$ ex. sodass $B_r(x)\subseteq U$, wobei $B_r(x):=\{z\in V \mid ||x-z||<r\}$ .
Nimmt man nun $U\subseteq V$ offen und $(x,y)\in V\times V$ mit $x+y\in U$ (also ein beliebiges Element im Urbild von U), so ist zu zeigen, dass es eine offene Umgebung um $(x,y)$ gibt, die unter der Abbildung $+$ wieder nach $U$ abgebildet wird. Wählt man $r>0$, sodass $B_r(x+y) \subseteq U$, so muss man nun noch passende $r_x,r_y$ wählen (abhängig von r) sodass $+:~B_{r_x}(x)\times B_{r_y}(y) \to B_r(x+y)\subseteq U $ wohldefiniert ist. Und das funktioniert wie bereits erwähnt gut mit der Dreiecksungleichung.

Beste Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-24


(2020-02-24 17:15 - Math_user im <a  

Sei \(V\) ein reeller Vektorraum, dann wird \(V\) zu einem topolgischen Raum mit der durch die Norm definierte Abbildung.

Sollte wohl besser heißen: mit der durch die Norm definierten Metrik.

Du schreibst: ich soll nun zeigen ... Zitiere lieber die Aufgabenstellung wörtlich.

Zum weiteren (alle Normen erzeugen dieselbe Topologie) siehe etwa
hier



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Math_user
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-24


Okay also ich versuche es mal, sei:
\[f:V\times V\rightarrow V,(x,y)\mapsto x+y\] Wir wollen zeigen: \[\forall \epsilon >0\; \exists \delta >0 \; : \forall (x,y) \in V \times V\; : ||x-x_0||<\delta,\; ||y-y_0||<\delta \rightarrow ||f(x,y)-f(x_0,y_0)||< \epsilon\]
Sei also \((x_0,y_0)\) fest und \(\epsilon >0\). Wir definieren \(\delta = \frac{\epsilon}{2}\), dann haben wir:
\[||f(x,y)-f(x_0,y_0)||=||x+y-x_0-y_0||\leq ||x-x_0||\; + ||y-y_0|| < \epsilon\]
Somit folgt doch, dass f stetig ist, oder?
Wie schliesse ich nun daraus, dass wenn V endlich dimensional ist, dann hängt die Topologie nicht von der Auswahl der Norm ab.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-25


Gehe zurück zu Beitrag No. 6.

Meines Erachtens lässt sich das aber nicht so einfach "daraus" schließen.



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