Die Mathe-Redaktion - 01.04.2020 10:49 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 630 Gäste und 17 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Polynome » Minimalpolynom der zwölften Einheitswurzel
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Schule Minimalpolynom der zwölften Einheitswurzel
GalapagosInseln
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.02.2016
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-25


Hallo,

ich suche das Minimalpolynom der zwölften Einheitswurzel \(\zeta\) über \(\mathbb{Q}\). Das ist natürlich das zwölfte Kreisteilungspolynom, was ich nicht ausrechnen konnte, also habe ich es bei Wikipedia nachgeschaut: \(x^4 - x^2 + 1\).

Meine Fragen sind:
Es stimmt doch \(\zeta = e^{2i\pi/12}\), oder? Und das Minimalpolynom von \(\zeta\) über \(\mathbb{Q}\) ist eindeutig.
Warum bekomme ich dann \((e^{i\pi/6})^4 - (e^{i\pi/6})^2 +1 = e^{2i\pi/3} - e^{i\pi/3} + 1 = e^{i\pi/3} + 1 = \sqrt[3]{e^{i\pi}} + 1 = \sqrt[3]{-1} + 1 = -1 + 1 = 0\), aber auch
\((e^{i\pi/6})^4 + (e^{i\pi/6})^2 +1 = e^{2i\pi/3} + e^{i\pi/3} + 1 = e^{i\pi} + 1 = -1 + 1 = 0 \)?
Wie kann sowohl \(x^4 - x^2 + 1\) als auch \(x^4 + x^2 + 1 \) meine Einheitswurzel als Nullstelle haben, normiert sein und den gleichen Grad haben? Welches davon ist denn jetzt mein Minimalpolynom? Oder habe ich mich verrechnet?

Viele Grüße
GalapagosInseln



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
DavidM
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 280
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-25


Hallo GalapagosInseln,

ich habe den Eindruck, dass du $e^{ki \pi /3} + e^{li \pi /3}=e^{(k+l)i \pi /3}$ oder so etwas gerechnet hast, das ist aber natürlich falsch.

Nebenbei: $e^{i \pi/3}=\sqrt[3]{e^{i \pi}}$ ist auch problematisch, weil eine komplexe Zahl ja drei dritte Wurzeln hat - in der Tat ist $e^{i \pi/3} \neq -1$, auch wenn beide Zahlen dritte Wurzeln aus $-1$ sind.

Gruß,
David



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Creasy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 493
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-25


Hallo,

Wie es scheint nutzt du in deiner Rechnung: $x^a +x^b=x^{a+n}$ und das ist bereits falsch.


Grüß Creasy

(Poste auch deinen endgültigen Versuch wenn du den Fehler behoben hast :) )

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Smile (:



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-25


2020-02-25 16:25 - GalapagosInseln im Themenstart schreibt:
aber auch
\((e^{i\pi/6})^4 + (e^{i\pi/6})^2 +1 = e^{2i\pi/3} + e^{i\pi/3} + 1 = e^{i\pi} + 1 = -1 + 1 = 0 \)?

Warum meinst du, dass
\[e^{2i\pi/3} + e^{i\pi/3} = e^{i\pi}\] gelten sollte.  😵

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
GalapagosInseln
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.02.2016
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-25


2020-02-25 17:47 - weird in Beitrag No. 3 schreibt:

Warum meinst du, dass
\[e^{2i\pi/3} + e^{i\pi/3} = e^{i\pi}\] gelten sollte.  :-?

Auuuuuu. Okay. Jetzt, nach ein paar Stunden Pause sieht das schon grob gefährlich aus, was ich da gerechnet habe. Ich sehs ein, dass das nicht stimmt. Hoffentlich passiert mir sowas dummes in der Klausur nicht :(



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5220
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-25


2020-02-25 16:25 - GalapagosInseln im Themenstart schreibt:
ich suche das Minimalpolynom der zwölften Einheitswurzel \(\zeta\) über \(\mathbb{Q}\). Das ist natürlich das zwölfte Kreisteilungspolynom, was ich nicht ausrechnen konnte, also habe ich es bei Wikipedia nachgeschaut: \(x^4 - x^2 + 1\).

Noch eine Bemerkung zu diesem Punkt. Zur Bestimmung des Minimalpolynoms einer primitiven(!) 12-ten Einheitswurzel geht man am besten folgendermaßen vor:

1. Starte mit dem normierten Polynom $f_0(x):=x^{12}-1$, welches genau alle 12-ten Einheitswurzeln als Nullstellen enthält.

2. Entferne daraus alle Linearfaktoren $x-\alpha$, wobei $\alpha$ eine 6-te Einheitswurzel ist, insgesamt also den Faktor $x^6-1$. Damit erhältst du zunächst
\[f_1(x):=\frac{x^{12}-1}{x^6-1}=x^6+1\]
3. Entferne daraus weiter alle Linearfaktoren $x-\alpha$, wobei $\alpha$ eine 4-te Einheitswurzel ist, soweit diese nicht schon unter 2. entfernt wurden, insgesamt also den Faktor $x^2+1$. Die führt schließlich auf
\[f_2(x):=\frac{x^6+1}{x^2+1}=x^4-x^2+1\] und das muss dann schon endgültige Minimalpolynom hier sein, da es nach Konstruktion nur mehr primitive 12-te Einheitswurzeln als Nullstellen enthält. War doch jetzt gar nicht so schwer, mit etwas Übung könnte man das alles sogar noch im Kopf durchführen, oder?  😉



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
GalapagosInseln hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP, that seems no longer to be maintained or supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]