Die Mathe-Redaktion - 09.04.2020 13:46 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps für den MP

Werbung

Bücher zu Naturwissenschaft und Technik bei amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 337 Gäste und 16 Mitglieder online

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Gruppe der invertierbaren Matrizen assoziativ - Beweis
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Gruppe der invertierbaren Matrizen assoziativ - Beweis
SomeOneSpecial
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.02.2020
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-02-27


Hallo zusammen.
Ich möchte beweisen, dass die Menge der invertierbaren Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe darstellen und hänge da ein wenig an der Assoziativität..

GL(n,K) := {A aus Knxn : A invertierbar}

a) Abgeschlossenheit:
Sind A, B aus GL(n,K) dann auch A*B aus GL(n,K)   (muss ich hier noch mehr zeigen?)

b) Assoziativität:
Seien A, B, C aus GL(n,K), dann gilt A*(B*C) = (A*B)*C  (muss ich hier noch mehr zeigen?)

c) Inverses Element:
Seien A,B aus GL(n,K) und I Einheitsmatrix, dann gilt
(A*B)*(B^-1 * A^-1) = A*(B*B^-1)*A^-1 = A*I*A^-1 = A*A^-1 = I

d) Neutrales Element:
Neutrales Element ist die Einheitsmatrix I, denn es gilt für A aus GL(n,K) A*I=I=I*A.


Wäre super wenn hier mal jemand mit kritischem Blick drüber schauen könnte, in 2 Wochen schreibe ich Klausur und bin daher grad am über :)

LG



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2991
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-27


2020-02-27 15:01 - SomeOneSpecial im Themenstart schreibt:
a) Abgeschlossenheit:
Sind A, B aus GL(n,K) dann auch A*B aus GL(n,K)   (muss ich hier noch mehr zeigen?)
Wie, "noch mehr"? Du hast doch noch gar nichts gezeigt. Also definitiv ja. Du musst zeigen, dass $AB$ invertierbar ist.


b) Assoziativität:
Seien A, B, C aus GL(n,K), dann gilt A*(B*C) = (A*B)*C  (muss ich hier noch mehr zeigen?)
Ja, aber vielleicht weißt du ja schon, dass Matrizenmultiplikation allgemein assoziativ ist, dann genügt ein Verweis darauf.


c) Inverses Element:
Seien A,B aus GL(n,K) und I Einheitsmatrix, dann gilt
(A*B)*(B^-1 * A^-1) = A*(B*B^-1)*A^-1 = A*I*A^-1 = A*A^-1 = I
Was genau willst du damit beweisen? Mir scheint, das ist der Beweis zur Abgeschlossenheit. Du musst hier eigentlich zeigen, dass falls $A$ invertierbar ist, auch $A^{-1}$ invertierbar ist. Das ist fast trivial, vielleicht bist du deshalb durcheinander gekommen.


d) Neutrales Element:
Neutrales Element ist die Einheitsmatrix I, denn es gilt für A aus GL(n,K) A*I=I=I*A.
Korrekt. Aber das gehört natürlich vor die Existenz von Inversen, dort verwendest du ja schon, dass $I$ das neutrale Element ist.



[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Gruppen' von ligning]


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
SomeOneSpecial
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.02.2020
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-27


VIelen Dank!

a) Abgeschlossenheit:
Sind A, B aus GL(n,K) dann auch A*B aus GL(n,K), denn es gilt
(A*B)*(B^-1 * A^-1) = A*(B*B^-1)*A^-1 = A*I*A^-1 = A*A^-1 = I.

b) Assoziativität:
Seien A, B, C aus GL(n,K), dann gilt A*(B*C) = (A*B)*C  (gilt gemäß Satz 3.7.4 allg. Matrixmultiplikation für alle Matrizen)

c) Neutrales Element:
Neutrales Element ist die Einheitsmatrix I, denn es gilt für A aus GL(n,K) A*I=I=I*A.

d) Inverses Element:
Sei A aus GL(n,K), so gilt (A^-1)^-1 = (A^-1)^-1 * I = (A^-1)^-1 * (A^-1 * A) = (A^-1)^-1 * A^-1) * A = n * A = A

Ich hoffe so passt es 😁
LG!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2991
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-27


2020-02-27 15:31 - SomeOneSpecial in Beitrag No. 2 schreibt:
d) Inverses Element:
Sei A aus GL(n,K), so gilt (A^-1)^-1 = (A^-1)^-1 * I = (A^-1)^-1 * (A^-1 * A) = (A^-1)^-1 * A^-1) * A = n * A = A
Das geht so nicht, du gehst ja schon davon aus, dass $A^{-1}$ wieder invertierbar ist, dabei ist das erst (und als einziges) zu zeigen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
SomeOneSpecial
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.02.2020
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-27


Okay dann weiss ich nicht wie man das beweisen könnte 😐

2020-02-27 15:43 - ligning in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-02-27 15:31 - SomeOneSpecial in Beitrag No. 2 schreibt:
d) Inverses Element:
Sei A aus GL(n,K), so gilt (A^-1)^-1 = (A^-1)^-1 * I = (A^-1)^-1 * (A^-1 * A) = (A^-1)^-1 * A^-1) * A = n * A = A
Das geht so nicht, du gehst ja schon davon aus, dass $A^{-1}$ wieder invertierbar ist, dabei ist das erst (und als einziges) zu zeigen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2991
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-27


$A^{-1}$ ist per Definition invertierbar, wenn es ein Element $B\in GL(n,K)$ gibt, so dass $A^{-1}B = I = BA^{-1}$. Es genügt also, so ein $B$ anzugeben, und das ist natürlich einfach $A$.

Ich sag ja, es ist fast trivial.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5642
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-27


Hallo,

2020-02-27 15:31 - SomeOneSpecial in Beitrag No. 2 schreibt:
c) Neutrales Element:
Neutrales Element ist die Einheitsmatrix I, denn es gilt für A aus GL(n,K) A*I=I=I*A.

Du müsstest noch beweisen (oder zumindest erwähnen), dass I in GL(n,K) liegt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP, that seems no longer to be maintained or supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]