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Mathematik » Geometrie » Ellipse und Dreieck durch Punkte eindeutig definieren
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Kein bestimmter Bereich Ellipse und Dreieck durch Punkte eindeutig definieren
Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-01


Hallo liebe Mpler!

Ich rätsle an folgender Frage herum:
Ein Kreis kann in seiner Größe und Lage in der Ebene mit drei Punkten eindeutig bestimmt werden. Wieviele benötige ich für eine Elipse? Dabei ist natürlich nicht vorausgesetzt, daß die beiden Hauptachsen senkrecht bzw. parallel zu den Koordinaten liegen! Einzig, das alle Punkte auf der Kurve liegen.
Und jetzt dasselbe für ein beliebiges Dreieck: nicht unbedingt die Eckpunkte sind gegeben, sondern nur die Information, daß alle Punkte auf Seiten des Dreiecks liegen und mindestens 2 auf derselben. Oder bedarf es da noch mehr Angaben. 6 Punkte allein reichen dann immernoch nicht.

Viele Grüße, Bernhard


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"Wichtig ist, daß man nie aufhört zu fragen"
"Weisheit ist nicht das Ergebnis der Schulbildung, sondern des lebenslangen Versuches, sie zu erwerben"
Albert Einstein



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-01


Hallo,

fünf Punkte bestimmen eine Ellipse (oder einen anderen Kegelschnitt). Bei einem Dreieck vermute ich, dass sieben genügen, wenn man voraussetzt, dass auf jeder Seite mindestens zwei der Punkte liegen.

Eigentlich genügen sogar genau drei Punkte, wenn man weiß, dass auf einer Dreiecksseite stets zwei liegen :P



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-02


Für beliebige Kegelschnitte (somit auch für die Ellipse) braucht man 5 Punkte, um die Parameter der allgemeinen Kegelschnittgleichung zu bestimmen:
$$ax^2+by^2+cx+dy+exy=1$$
Beim Dreieck braucht man tatsächlich 7 Punkte, davon 3 auf einer Geraden.
6 Punkte genügen nicht, denn es ist nicht eindeutig, welche Paare von Punkten auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
3 Punkte sind keinesfalls ausreichend! Selbst wenn man weiß, welches Paar auf einer Geraden liegt. Die Endpunkte der beiden anderen Seiten können sonstwo auf dieser Geraden liegen.

Gruß vom ¼


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-02


Das verstehe ich nicht. Wenn vorausgesetzt wird, dass für jede Seite zwei der gegebenen Punkte auf ihr liegen, so müssen es bei genau drei Punkten eben die drei Eckpunkte sein.

Bei vier bis sechs gegebenen Punkten geht es dann natürlich nicht mehr. Insofern hast du mit sieben schon recht. Andererseits braucht man auch hier die Eigenschaft, dass auf jeder Seite wenigstens zwei liegen.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-02


2020-03-01 21:23 - Bernhard im Themenstart schreibt:
Und jetzt dasselbe für ein beliebiges Dreieck: nicht unbedingt die Eckpunkte sind gegeben, sondern nur die Information, daß alle Punkte auf Seiten des Dreiecks liegen und mindestens 2 auf derselben. Oder bedarf es da noch mehr Angaben. 6 Punkte allein reichen dann immernoch nicht.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-02


2020-03-02 11:58 - viertel in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-03-01 21:23 - Bernhard im Themenstart schreibt:
Und jetzt dasselbe für ein beliebiges Dreieck: nicht unbedingt die Eckpunkte sind gegeben, sondern nur die Information, daß alle Punkte auf Seiten des Dreiecks liegen und mindestens 2 auf derselben. Oder bedarf es da noch mehr Angaben. 6 Punkte allein reichen dann immernoch nicht.


Das habe ich schon verstanden, danke :D Aber es müssen die Eckpunkte sein, falls wir genau drei Punkte gegeben haben. Anders können wir die Bedingung, dass auf jeder Seite mindestens zwei Punkte liegen, nicht erfüllen.

Seien A,B,C die gegebenen Punkte. Weiter heiße a die Seite auf der die Punkte B und C liegen, b die Seite auf der die Punkte A und C liegen und C die Seite auf der die Punkte A und B liegen. Da a und b genau einen gemeinsamen Punkt haben und C auf beiden Seiten liegt, muss C der Schnittpunkt beider Seiten und somit ein Eckpunkt des Dreiecks sein. Analoges gilt auch für die anderen beiden Punkte. Hier wird nirgends vorausgesetzt, dass A,B,C die Eckpunkte sind.

Es ist auch nicht so wichtig, sieben ist für mich auch eine legitime Antwort :D



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-02


Letztlich muß Bernhard es einordnen, es ist seine Frage ***Mist, wo sind die schönen Smileys geblieben?*** ;)



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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-02


Hallo ochen & Viertel

Vielen Dank für Eure Antworten!
Bei der Ellipse habe ich mir auch gedacht, daß es mindestens 4 Punkte, wahrscheinlich mehr sein müßten. Und daß das Gleiche dann für alle anderen Kegelschnitte genauso gelten würde.

Zum Dreieck:
2020-03-02 13:31 - viertel in Beitrag No. 6 schreibt:
Letztlich muß Bernhard es einordnen, es ist seine Frage
Auf die Schlußfolgerung von ochen bin ich noch gar nicht gekommen - daß es nämlich bei drei Punkten zwingend die Eckpunkte sein müssen und damit die Sache bereits eindeutig ist. Und daß hier merkwürdigerweise mehr Angaben zu weniger und nicht zu mehr Eindeutigkeit führen können. Mir ist eben bisher nur aufgefallen, daß, wenn man die Punkte nicht auf die Ecken legt, einer nicht ausreicht, um eine Seite festzulegen. Und daß es bei 6 Punkten immernoch 2 Möglichkeiten geben kann/gibt.
Viertels Lösung gilt dann für den Fall, wenn man explizit ausschließt, daß die Punkte auf einer Ecke des Dreiecks liegen.
Beim Dreieck braucht man tatsächlich 7 Punkte, davon 3 auf einer Geraden.
Ist das so zu verstehen, daß die Punkte nur auf den die Seiten beschreibenden Geraden liegen müssen, also auch außerhalb des Dreiecks liegen können?

***Mist, wo sind die schönen Smileys geblieben?*** ;)
Tja, das ist nicht nur meine Frage, wie ich sehe. Ich vermisse die alten schönen Bildchen auch! Vor allem, weil man bei über der Hälfte der neuen nichts anderes als nichtssagende Quadrate erkennen kann - die alten waren viel kompatibler! Das ging jahrelang prima und ich verstehe nicht, was daran jetzt fortschrittlicher sein soll.

Viele Grüße, Bernhard

PS: Danke an mire2 für die Korrektur des Titels. Da hat wohl ein "l" für die eindeutige Definition gefehlt...


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
haribo
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beim kreis(oder kugel in 3D) reichen auch zwei punkte, wenn einer davon in M liegt und man weiss welcher
haribo



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