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Mathematik » Stochastik und Statistik » Funktionalgleichung eines W'Maßes Teil 2
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Kein bestimmter Bereich J Funktionalgleichung eines W'Maßes Teil 2
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-07


Hey,
ich benutze mal die Notation hier.
Nun gilt aber:
(n über k) = f(k)*f(n-k).

So eine Verteilung kenne ich leider nicht, kennt ihr eine (bzw. könnt ihr f bestimmen)?




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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-07


Was genau meinst du mit der Notation? Etwa $\binom{n}{k} = \mathbb{P}[X = k] \mathbb{P}[X = n-k]$? Das kann schließlich nicht gehen, da die rechte Seite $\leq 1$ ist.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-07


Hey Kezer,
hast recht. Mir kam die Idee, dass ich einen Fehler hatte und (n über k) durch 2^n teilen muss. Danke!



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-07


Also die genaue Gleichung lautet:
\( 1/2^n \cdot {n\choose k} = f(k)\cdot f(n-k) /(\sum_{k=0}^{n} {f(k)\cdot f(n-k)} \) für alle \(0\leq k\leq n\).



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-18


Hallo Red_,

ein hinreichendes Kriterium für

2020-03-07 17:53 - Red_ in Beitrag No. 3 schreibt:
Also die genaue Gleichung lautet:
\( 1/2^n \cdot {n\choose k} = f(k)\cdot f(n-k) /(\sum_{k=0}^{n} {f(k)\cdot f(n-k)} \) für alle \(0\leq k\leq n\).

ist, dass $f(k)\cdot f(n-k) = {n \choose k}$ für $0 \leq k \leq n$ erfüllt ist.

Nun gilt wegen ${n \choose k} = {n \choose n-k}$, dass ${n \choose k} = \sqrt{{n \choose k} } \sqrt{{n \choose n-k} }$.

Wenn $f$ ein Wahrscheinlichkeitsvektor sein soll, normiere $f$ (ändert an der Gültigkeit deiner Gleichung ja nichts).



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-19


Hey,
ich habe die Aufgabe nicht weiter versucht. Wenn du auf \(f(k)=\sqrt{n\choose k}\) hinaus willst, dann kann das nicht gelten, da die Gleichung oben unabhängig von n und k ist.



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qzwru
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-22


2020-03-19 18:56 - Red_ in Beitrag No. 5 schreibt:
Hey,
ich habe die Aufgabe nicht weiter versucht. Wenn du auf \(f(k)=\sqrt{n\choose k}\) hinaus willst, dann kann das nicht gelten, da die Gleichung oben unabhängig von n und k ist.


Hallo Red,

ah ok, ich dachte $n$ wäre fest.

Die Poissonverteilung hat die geforderte Eigenschaft. Das kann man zwar einfach nachrechnen, aber ein etwas systematischeres Vorgehen wäre vermutlich:

Sind $X$, $Y$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit $\mathbb P(X= k) = f(k)$ für alle $k \in \mathbb N$ so bedeutet die Gleichung gerade, dass $\frac{1}{2^n} {n \choose k} = \mathbb P(X=k|X+Y = n)$ für alle $k, n \in \mathbb N$ mit $ k \leq n$.  Das dies für die Poissonverteilung erfüllt ist, sollte man sich mit der Ausdünnungseigenschaft der Poissonverteilung überlegen können.

Darf ich fragen, in welchem Kontext du auf die Fragestellung gestoßen bist?



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-22


HEy qzwru,
ich habe die Aufgabe aus Hans Georgiis Buch Seite 87 Aufgabe 3.9.
So wie du es hingeschrieben hast, stand sie genau da. Dachte aber man müsse alles ausschreiben etc.
Danke für deine Hilfe!



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Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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