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Universität/Hochschule J Lokale und globale Extrema von x^n*(1-x)
mathebauer97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-07


Liebes Forum,

mir stellt sich folgendes Problem:

Ich soll die lokalen und globalen Extrema der Funktion f(x)=x^n*(1-x)
finden.

Ist n gerade, so ist natürlich in x=0 ein lokales Extremum zu finden.
Durch Experimentieren habe ich herausgefunden, dass das andere (bzw wenn n ungerade das einzige) lokale Extremum in x=n/(n+1) liegt.

Um das zu zeigen, möchte ich x=n/(n+1) in die erste Ableitung von f einsetzen:

f'(x) = n*x^(n-1) - n*x^n - x^n.

Ich möchte also zeigen, dass

n*(n/(n+1))^(n-1) - n*(n/(n+1))^n - (n/(n+1))^n = 0 ist.

Das probiere ich jetzt schon eine ganze Weile, leider ohne brauchbares Endergebnis 🤔.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Ich entschuldige mich auch für die schlechte Lesbarkeit der Terme, werde demnächst beginnen, in Latex zu schreiben.

mfg,
Mathebauer




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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-07


Hallo
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Gruß lula


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Alif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-08


Hallo,

Hier die Rechnung zu deinem Problem, ich habe hier allerdings nur die wesentlichen Schritte notiert, damit du selbst nochmal schauen kannst, ob es jetzt klar ist:

\(n(\frac{n}{n+1})^{n-1}-n(\frac{n}{n+1})^n-(\frac{n}{n+1})^{n} = n(\frac{n}{n+1})^{n-1}-(n+1)(\frac{n}{n+1})^n = n(\frac{n^{n-1}}{(n+1)^{n-1}})-(n+1)(\frac{n^n}{(n+1)^n}) = \frac{n^n}{(n+1)^{n-1}}-\frac{n^n}{(n+1)^{n-1}} = 0\)

Melde dich einfach nochmal, falls noch Unklarheiten oder Probleme sind, dass man hier mal ein Vorzeichen vertauscht etc. wäre nämlich sicher nicht ungewöhnlich.

Schöne Grüße
Alif



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mathebauer97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-08


Hallo lula und Alif,

besten Dank für eure Antworten - gefällt mir beides sehr gut :)

LG,

mathebauer



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