Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Summe und Integral vertauschen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Summe und Integral vertauschen
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-08


Kann mir hier drauf jemand eine Antwort geben?

Die Exponentialreihe ist lokal gleichmäßig konvergent, aber eben nicht gleichmäßig konvergent. Das bedeutet, dass eigentlich Reihe und uneigentliches Integral nicht vertauscht werden dürften wie in folgendem Beispiel:

$$\int_0^\infty e^{-(1+x)t} \, {\rm d}t = \frac{1}{1+x} \\
=\int_0^\infty e^{-t} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-xt)^n}{n!} \\
=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!} \, \int_0^\infty t^n \, e^{-t} \, {\rm d}t \\
=\sum_{n=0}^\infty (-x)^n = \frac{1}{1+x} \, . $$
Beide Vorgehensweisen liefern offenbar das gleiche Ergebnis, und auch denk ich mir: Was soll schon großartig anderes herauskommen, wenn man wild rum manipuliert und das Ergebnis am Ende im Sinne einer analytischen Fortsetzung eindeutig zu sein hat. Auf der anderen Seite frage ich mich dann aber, wofür benötigt man konkret diese Begriffe der gleichmäßigen Konvergenz, wenn die analytische Eindeutigkeit es am Ende schon richten wird. Hat jemand konstruktive Beispiele wo es dann doch drauf ankommt?

Eine Sache die z.B. auffällt: In dem Moment wo ich Summe und Integral vertausche, ändert sich der Konvergenzradius der Reihe. Für den Wert der Reihe ist das am Ende allerdings egal, denn obwohl der obere Ausdruck für alle $x>-1$ konvergiert, also insbesondere auch für $x>1$, so besitzt die Reihe unten nur sinnhafte Werte für $|x|<1$. Ignoriert man nun den Schritt der gleichmäßigen Konvergenz, so ist die Koinzidenzmenge für $|x|<1$ gegeben und nach dem Indentitätssatz ist entsprechend auch jeder Wert für $x>1$ eindeutig bestimmt, ganz gleich ob die Reihe diesbzgl. einen vernünftigen Wert ausspuckt oder nicht.

Was bleibt ist mein rudimentäres Verständnis von gleichmäßiger Konvergenz und deren Einordnung in konkretere Anwendungen bei denen man tatsächlich drauf achten muss.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3577
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-08


Hallo digerdiga,
gleichmäßige Konvergenz einer Reihe bedeutet gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge. Ein Beispiel für unterschiedliche Ergebnisse erhält man, wenn man die Reihe so definiert, dass als Partialsummenfolge die in diesem Beispiel genannte Folge entsteht.

Viele Grüße,
  Stefan



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-08


2020-03-08 06:29 - StefanVogel in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo digerdiga,
gleichmäßige Konvergenz einer Reihe bedeutet gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge.
Das ist mir klar.


 Ein Beispiel für unterschiedliche Ergebnisse erhält man, wenn man die Reihe so definiert, dass als Partialsummenfolge die in diesem Beispiel genannte Folge entsteht.

Viele Grüße,
  Stefan



Danke für das Beispiel. Das Problem mit dieser Funktion ist allerdings, dass man sie als Distribution auffassen kann; den Grenzwert Null-Funktion zu nennen ist daher nur bedingt richtig in meinen Augen. Für Partialsummenfolgen deren Grenzwert eine differenzierbare Funktion darstellt hab ich bisher kein Gegenbeispiel gefunden. Muss ich mich mit der funktionentheoretischen Begründung begnügen?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3577
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-08


Damit bin ich nicht einverstanden. Die Nullfunktion ist Grenzwert dieser Partialsummenfolge, nicht nur bedingt. Die Nullfunktion ist auch unendlich oft differenzierbar und auch analytisch. Also ist das ein Beispiel dafür, dass eine Grenzfunktion einer Partialsummenfolge sogar analytisch ist, Summen- und Integralbildung aber nicht vertauschbar sind, weil die Partialsummenfolge nicht gleichmäßig konvergiert.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-09


Hm, irgendwie kann ich mich damit nicht anfreunden. In 0 ist die Grenzfunktion nicht wirklich definiert. Also kann auch keine Aussage darüber getroffen werden welchen Wert das Integral über eine kleine Umgebung um 0 annimmt.

Ähnlich ist es mit der Funktion $$f_n(x)=\sqrt{\frac{n}{2\pi}} \, e^{-\frac{x^2 \, n}{2}} \, .$$
Welchen Wert nimmt die Grenzfunktion deiner Meinung nach im Limes an?


Wo siehst du in der obigen Wikipedia Funktion eigentlich eine Partialsummenfolge? Für mich sieht eine Partialsummenfolge so aus: $$\sum_{k=0}^n \, .$$



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3577
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-09


In \(0\) ist die Nullfunktion \(f(x)=0\) definiert und auch in jeder Umgebung. Sie ist in \(0\) sogar Grenzfunktion von Anfang an:


\(0 = f_1(0) = f_2(0) = f_3(0)  = ... = f_n(0) = ... \) für jedes n.

Doch beim zweiten Beispiel (ich bezeichne die Funktionen zur besseren Unterscheidung mit \(d\) ähnlich wie in Wikipedia #Delta-Distribution)

\(d_n(x)=\sqrt{\frac{n}{2\pi}} \, e^{-\frac{x^2 \, n}{2}} \, \)

da stimme ich dir zu, diese Funktionenfolge hat in 0 keinen Grenzwert. Vielleicht erwartest du bei der ersten Funktionenfolge \(f_n(x)\) einen ähnlichen Funktionsverlauf, so wie die in Beispiele für Dirac-Folgen aufgelistete Dreiecksfunktion. Auch da stimme ich dir zu, dass in 0 kein Grenzwert existiert. Beim ersten Beispiel \(f_n(x)\) haben die Dreiecke aber eine andere Lange, nicht symmetrisch zum Nullpunkt sondern rechts davon und die Spitze und der rechte Fußpunkt des Dreiecks wandern allmählich gegen die Null und der linke Fußpunkt befindet sich immer bei 0. Dadurch sind bei jedem fest vorgegebenen \(\varepsilon>0\) die Funktionswerte \(f_n(\varepsilon)\) ab einem bestimmten Index \(n > n_{\varepsilon}\) ebenfalls Null.

<math>
\begin{tikzpicture}[draw=grey,scale=3,anchor=west]
\draw[->,anchor=east]
(0,0) --
(0,1) node {1} -- +(-0.03,0) +(0,0) --
(0,2) node {2} -- +(-0.03,0) +(0,0) --
(0,3) node[anchor=south] {$f_n(x)$} ;
\draw[->,anchor=north]
(0,0) node {0} --
(1,0) node {1} -- +(0,-0.02) +(0,0) --
(2,0) node {2} -- +(0,-0.02) +(0,0) --
(2.5,0) node[anchor=south] {f(x)=0} --
(3,0) node[anchor=west] {x} ;
\draw[violet] (0,0) -- (1,1) node {$f_1(x)$} -- (2,0) ;
\draw[blue] (0,0) -- (0.5,2) node {$f_2(x)$} -- (1,0) ;
\draw[teal] (0,0) -- (0.333,3) node {$f_3(x)$} -- (0.666,0) ;
\end{tikzpicture}
</math>

Eine beliebige Funktionenfolge \(f_n(x), n=1,2,3,...\) schreibe ich als Partialsummenfolge

\(f_n(x) = \sum\limits_{i=1}^{n} p_i(x)\) mit \(p_1(x) = f_1(x)\) und \(p_i(x)=f_i(x) - f_{i-1}(x)\) für \(i>1\).



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-09


2020-03-09 03:27 - StefanVogel in Beitrag No. 5 schreibt:
In \(0\) ist die Nullfunktion \(f(x)=0\) definiert und auch in jeder Umgebung. Sie ist in \(0\) sogar Grenzfunktion von Anfang an:


\(0 = f_1(0) = f_2(0) = f_3(0)  = ... = f_n(0) = ... \) für jedes n.

Doch beim zweiten Beispiel (ich bezeichne die Funktionen zur besseren Unterscheidung mit \(d\) ähnlich wie in Wikipedia #Delta-Distribution)

\(d_n(x)=\sqrt{\frac{n}{2\pi}} \, e^{-\frac{x^2 \, n}{2}} \, \)

da stimme ich dir zu, diese Funktionenfolge hat in 0 keinen Grenzwert. Vielleicht erwartest du bei der ersten Funktionenfolge \(f_n(x)\) einen ähnlichen Funktionsverlauf, so wie die in Beispiele für Dirac-Folgen aufgelistete Dreiecksfunktion. Auch da stimme ich dir zu, dass in 0 kein Grenzwert existiert. Beim ersten Beispiel \(f_n(x)\) haben die Dreiecke aber eine andere Lange, nicht symmetrisch zum Nullpunkt sondern rechts davon und die Spitze und der rechte Fußpunkt des Dreiecks wandern allmählich gegen die Null und der linke Fußpunkt befindet sich immer bei 0. Dadurch sind bei jedem fest vorgegebenen \(\varepsilon>0\) die Funktionswerte \(f_n(\varepsilon)\) ab einem bestimmten Index \(n > n_{\varepsilon}\) ebenfalls Null.



Da hast du dir aber einen Aufwand gemacht mit Tikz die Graphik zu zeichnen. Aber dafür hat meine Vorstellung noch gereicht ;)

Ich glaube wir kommen verquer, weil du dich bei meiner obigen Beispielfunktion die du $d_n(x)$ nennst daran aufhängst, dass für festes $n$ und $x=0$, $d_n(0) \neq 0$ ist und dann dort die Funktion divergiert wenn $n\rightarrow \infty$. Meine Behauptung ist, dass das ein ziemlich nebensächliches Detail ist, dass man relativ schnell aus den Augen verlieren sollte, weil es vom Wesentlichen ablenkt. Statt meiner obigen Funktion $d_n(x)$, betrachte stattdessen die Funktion $$\delta_n(x)=\sqrt{\frac{n}{2\pi}} \, n x^2 \, e^{-\frac{x^2 n}{2}} \, .$$ Diese Funktion hat genauso deltafunktionartiges Verhalten, ist deiner Dreiecksfunktion ähnlicher und dennoch behaupte ich wirst du als Grenzfunktion die Nullfunktion erklären. Sie hat Maxima bei $x^2=2/n$, wo sie den Wert $\frac{2}{e} \, \sqrt{\frac{n}{2\pi}}$ annimmt. Genauso wie bei der Dreiecksfunktion $\Delta_n(x)$ wandert der Punkt an dem diese Funktion divergiert gegen $0$. Also kannst du überhaupt keine Aussage darüber treffen welcher Wert denn nun in $0$ angenommen wird.

Wie man das auch noch erkennt ist wenn du obige Funktion wie folgt darstellst
$$\delta_n(x)=-x\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} d_n(x) \, .$$ Nimmst du jetzt den Limes $n\rightarrow \infty$, dann erhält du mit der Deltafunktion $\delta(x)$
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \delta_n(x) = -x\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \delta(x) = -x\delta'(x) \, .$$ Betrachtest du die Deltafunktion im Sinne ihrer Wirkung auf Integrale, so ist dies nach partieller Integration äquivalent zu $\delta(x)$. Also ist $$\lim_{n\rightarrow \infty} \delta_n(x) = \delta(x) \, .$$

Entsprechend könnte ich auch so argumentieren. Für festes $n$ ist $\Delta_n(a/n)=an$ wobei $0<a\leq 1$ ist. Für jeden dieser Werte $x=a/n$ ist der Limes der Dreiecksfunktion nicht definiert und der Limes von $a/n$ ist $0$. Daher ist die Funktion in jeder noch so kleinen Umgebung um $0$ nicht definiert.

Von einer Betrachtungsweise hast du natürlich Recht. Die Funktion $\Delta_n(x)$ konvergiert PUNKTWEISE gegen 0. Sprich du hälst $x$ fest und lässt dann den Limes für $n$ gegen unendlich gehen. In dem Fall hast du Recht, dass für jedes noch so kleine $x>0$ (fest) im Limes $n\rightarrow \infty$ die Funktion irgendwann verschwindet. Deshalb bin ich der Meinung, muss es auch noch andere Formen der Konvergenz geben (neben punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz), denn mein obiges Beispiel zeigt insbesondere, dass obwohl die Funktion punktweise gegen $0$ konvergiert (auch $\delta_n(x)$), behalten sie ihr grundsätzliches Verhalten bei; auch wenn sei scheinbar überall Null sind. Wenn aber ihr grundsätzliches Verhalten über die Integration bestimmt ist, und für diese ein Wert ungleich Null herauskommt, dann kann auch die Funktion nicht überall exakt Null sein. Oder, wenn dem wirklich so ist dann ist auch $\lim_{n\rightarrow \infty} d_n(x) = 0$ (auch in 0), denn $\delta_n$ und $d_n$ sind miteinander verknüpft.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3577
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-14


2020-03-09 03:27 - StefanVogel in Beitrag No. 5 schreibt:
Statt meiner obigen Funktion $d_n(x)$, betrachte stattdessen die Funktion $$\delta_n(x)=\sqrt{\frac{n}{2\pi}} \, n x^2 \, e^{-\frac{x^2 n}{2}} \, .$$ Diese Funktion hat genauso deltafunktionartiges Verhalten, ist deiner Dreiecksfunktion ähnlicher und dennoch behaupte ich wirst du als Grenzfunktion die Nullfunktion erklären.

Das stimmt, als Ergebnis für die Grenzfunktion erhalte ich die Nullfunktion.


Sie hat Maxima bei $x^2=2/n$, wo sie den Wert $\frac{2}{e} \, \sqrt{\frac{n}{2\pi}}$ annimmt. Genauso wie bei der Dreiecksfunktion $\Delta_n(x)$ wandert der Punkt an dem diese Funktion divergiert gegen $0$.

Das würde ich anders formulieren. Diese Funktion divergiert nicht. Der Punkt, an dem diese Funktion ihr Maximum annimmt, wandert gegen die $0$ für \(n\rightarrow \infty\).

<math>
\begin{tikzpicture}
\draw[->,anchor=east]
(0,0) --
(0,1) node {1} -- +(-0.03,0) +(0,0) --
(0,1.3) node[anchor=south] {$\delta_n(x)$} ;
\draw[->,anchor=north]
(0,0) node {0} --
(1,0) node {1} -- +(0,-0.02) +(0,0) --
(2,0) node {2} -- +(0,-0.02) +(0,0) --
(3,0) node {3} -- +(0,-0.02) +(0,0) --
(4,0) node {4} -- +(0,-0.02) +(0,0) --
(5,0) node[anchor=west] {x} ;
%\draw[violet!10] (0,0) -- (1,1) node {$f_1(x)$} -- (2,0) ;
%\draw[blue!10] (0,0) -- (0.5,2) node {$f_2(x)$} -- (1,0) ;
%\draw[teal!10] (0,0) -- (0.333,3) node {$f_3(x)$} -- (0.666,0) ;
\draw[violet, domain=0:4, smooth, variable=\t] plot (\t,{0.39894*(\t)^2*1^(3/2)*e^(-((\t)^2)/2*1)});
\draw[blue, domain=0:4, smooth, variable=\t] plot (\t,{0.39894*(\t)^2*2^(3/2)*e^(-((\t)^2)/2*2)});
\draw[teal, domain=0:4, smooth, variable=\t] plot (\t,{0.39894*(\t)^2*3^(3/2)*e^(-((\t)^2)/2*3)});
\draw[gray, domain=0:4, smooth, variable=\t] plot (\t,{0.39894*(\t)^2*4^(3/2)*e^(-((\t)^2)/2*4)});
\end{tikzpicture}
</math>


Also kannst du überhaupt keine Aussage darüber treffen welcher Wert denn nun in $0$ angenommen wird.

Doch, in \(0\) ist vom ersten \(n\) an der Funktionswert immer gleich \(0\), somit auch der Grenzwert 0.


Wie man das auch noch erkennt ist wenn du obige Funktion wie folgt darstellst
$$\delta_n(x)=-x\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} d_n(x) \, .$$ Nimmst du jetzt den Limes $n\rightarrow \infty$, dann erhält du mit der Deltafunktion $\delta(x)$
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \delta_n(x) = -x\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \delta(x) = -x\delta'(x) \, .$$ Betrachtest du die Deltafunktion im Sinne ihrer Wirkung auf Integrale, so ist dies nach partieller Integration äquivalent zu $\delta(x)$. Also ist $$\lim_{n\rightarrow \infty} \delta_n(x) = \delta(x) \, .$$

Die Folge \(\delta_n(x)\) wirkt wie die Delta-Distribution und nicht wie die Nullfunktion. Das ist ja gerade der Beweis, dass man Integration und Grenzwerbildung nicht so ohne weiteres vertauschen kann.


Entsprechend könnte ich auch so argumentieren. Für festes $n$ ist $\Delta_n(a/n)=an$ wobei $0<a\leq 1$ ist. Für jeden dieser Werte $x=a/n$ ist der Limes der Dreiecksfunktion nicht definiert und der Limes von $a/n$ ist $0$. Daher ist die Funktion in jeder noch so kleinen Umgebung um $0$ nicht definiert.

Welche Funktionenfolge \(\Delta_n(a/n)\) meinst du? für alle bisherigen Folgen ist die Grenzfunktion 0.


Von einer Betrachtungsweise hast du natürlich Recht. Die Funktion $\Delta_n(x)$ konvergiert PUNKTWEISE gegen 0. Sprich du hälst $x$ fest und lässt dann den Limes für $n$ gegen unendlich gehen. In dem Fall hast du Recht, dass für jedes noch so kleine $x>0$ (fest) im Limes $n\rightarrow \infty$ die Funktion irgendwann verschwindet. Deshalb bin ich der Meinung, muss es auch noch andere Formen der Konvergenz geben (neben punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz), denn mein obiges Beispiel zeigt insbesondere, dass obwohl die Funktion punktweise gegen $0$ konvergiert (auch $\delta_n(x)$), behalten sie ihr grundsätzliches Verhalten bei; auch wenn sei scheinbar überall Null sind. Wenn aber ihr grundsätzliches Verhalten über die Integration bestimmt ist, und für diese ein Wert ungleich Null herauskommt, dann kann auch die Funktion nicht überall exakt Null sein. Oder, wenn dem wirklich so ist dann ist auch $\lim_{n\rightarrow \infty} d_n(x) = 0$ (auch in 0), denn $\delta_n$ und $d_n$ sind miteinander verknüpft.

Die gleichmäßige Konvergenz ist doch bereits eine alternative Form der Konvergenz. Wenn eine Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist, kann man  Integration und Grenzwertbildung vertauschen. Wenn das für eine bestimmte Anwendung nicht ausreichend ist, dann kannst du jederzeit eine andere Konvergenz definieren. Beispielsweise gleich ganz passend, eine Funktionenfolge ist "(gewünschteBezeichnung)"-konvergent, wenn man Integration und Grenzwertbildung vertauschen kann.

Wenn man bei einer integrierbaren und punktweise konvergenten Funktionenfolge Integration und Grenzwertbildung nicht vertauschen kann, so sehe ich keinen Grund, warum man als Integral oder als Grenzwert etwas anderes definieren sollte, damit das Vertauschen möglich wird. Die Funktionenfolge \(\delta_n\) konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion und im "distributiven Sinne" gegen \(\delta\).



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
piquer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 418
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-15


Hallo zusammen,

um nochmals auf die Aufgangsfrage zurückzukommen:
Die Exponentialreihe konvergiert nicht nur lokal gleichmäßig, sondern gleichmäßig auf allen Intervallen $(-\infty,a]$ für $a < 0$. Daher kannst du das Integral folgendermaßen aufspalten:

$$ \int\limits_0^\infty = \int\limits_0^1 + \int\limits_1^\infty.
$$ Nun kannst du auf beiden Intervallen die gleichmäßige Konvergenz der Exponentialreihe nutzen, um Integration und Summation zu vertauschen. Dieser Trick wird auch bei der analytischen Fortsetzung der $\Gamma$-Funktion genutzt.

Zu Frage des Konvergenzradius ist zu sagen, dass deine Funktion für $x = -1$ nicht definiert ist. Deshalb kann eine Potenzreihe um $0$ maximal den Konvergenzradius $1$ haben.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-17


2020-03-15 20:05 - piquer in Beitrag No. 8 schreibt:
Hallo zusammen,

um nochmals auf die Aufgangsfrage zurückzukommen:
Die Exponentialreihe konvergiert nicht nur lokal gleichmäßig, sondern gleichmäßig auf allen Intervallen $(-\infty,a]$ für $a < 0$.

Du hast recht; wie dumm von mir. Auf $(-\infty,a]$ mit $a<0$ ist die Exponentialreihe gleichmäßig konvergent.

Hast du eine Idee wie man das beweist? Die Exp-Reihe ist ja gerade deshalb nicht gleichmäßig konvergent für positive $x$, weil die Folgenglieder $x^n/n!$ ein ausgeprägtes Maximum bei $n \approx x$ haben die für die großen Beiträge aufsummiert (wenn $x$ positiv) verantwortlich sind. Die Bedingung zu gegebenem $\epsilon>0$ existiert ein $N$, so dass
$$\left|\sum_{n=N+1}^\infty \frac{x^n}{n!}\right| < \epsilon$$ für alle $x$, klappt gerade deshalb nicht weil bei steigendem $x$ diese Maxima jenseits von $N$ wandern und dann wieder große Beiträge liefern.

Im Falle von negativem $x$ müssten sich also diese großen Beiträge durch die Alterniertheit der Reihe gerade genau wegheben, so dass trotz steigendem $x$ die Beiträge immer kleiner werden.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-19


Hallo, Ich hab mir gerade nochmal die Folgen $$a_n(x)=\left|\sum_{k=n}^\infty \frac{(-x)^k}{k!}\right|$$ numerisch angeschaut. Aufgetragen ist der logarithmus von der Folge, so dass für $n=0$ einfach die Gerade $-x$ rauskommt.



Mir erscheint nicht, dass die Reihe gleichmäßig gegen $e^{-x}$ konvergiert. Schaut man sich zu einem festen $n>1$ die Kurve an, so wächst der Wert mit zunehmendem $x$. Wenn also zu festem $x>0$ und $\epsilon>0$ ein $n$ existiert, so dass der numerische Wert der Folge unter $\epsilon$ fällt, also $$a_n(x)<\epsilon \, ,$$ dann muss ich zu gleichem $n$ nur zu größeren $x$-Werten gehen um die $\epsilon$ Bedingung zu verletzen. Dies widerspricht dann aber der gleichmäßigen Konvergenz.

PS: Der gif upload scheint nicht zu funktionieren, deshalb hier nochmal extern:



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3577
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-21


Der Logarithmus der Reihe konvergiert nicht gleichmäßig, die Reihe selbst schon.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-24


Wie kommst du auf Logarithmus? Doch nicht nur, weil ich aus Darstellungsgründen $\log(a_n)$ in die Grafik aufgetragen habe? 🙄

Wenn $e^{-x}$ für $x>0$ wirklich gleichmäßig konvergent ist, würde ich dazu gerne mal den Beweis sehen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3577
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-03-28


Stimmt, die Partialsummen sind alles Polynome und Polynome divergieren für x gegen Unendlich, wenn sie nicht konstant sind. Die Reihe ist nicht gleichmäßig konvergent. Hab ich mich versehen 😒 . Gleiches gilt dann auch für den von dir betrachteten Partialsummen-"Rest", also die Differenz der gesamten Reihe und je einer Partialsumme.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
digerdiga
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.11.2006
Mitteilungen: 1368
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29


2020-03-28 17:22 - StefanVogel in Beitrag No. 13 schreibt:
Stimmt, die Partialsummen sind alles Polynome und Polynome divergieren für x gegen Unendlich, wenn sie nicht konstant sind. Die Reihe ist nicht gleichmäßig konvergent. Hab ich mich versehen 😒 . Gleiches gilt dann auch für den von dir betrachteten Partialsummen-"Rest", also die Differenz der gesamten Reihe und je einer Partialsumme.

So kann man es auch sehen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
digerdiga hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]