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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Grenzwert einer Funktionenfolge
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Universität/Hochschule J Grenzwert einer Funktionenfolge
raede
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Dabei seit: 13.10.2019
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  Themenstart: 2020-03-10

Hallo zusammen Folgend die Aufgabenstellung https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52063_Analysis_4.PNG Ich habe hier keinen Ansatz zur Berechnung des Grenzwertes. Was ich bisher probiert habe, ist, den Term so umzuformen, dass ich einen Teilterm habe, welcher gegen e konvergiert. Dies ergab leider nichts. Wäre es möglich eine Abschätzung nach oben und unten zu finden und so den Grenzwert zu beweisen? lg raede


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Squire
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-10

Servus raede! $\lim_{x \to \infty}(2-a^{1/x})^x=\lim_{x \to \infty}(2-e^{\frac{\ln{a}}{x}})^x=\lim_{x \to \infty}(2-1-\frac{\ln{a}}{x}+O(\frac{1}{x^2}))^x$ Kommst du so weiter? Grüße Squire


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raede
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-10

Hallo Squire Die erste Umformung ist verständlich. Die zweite jedoch noch nicht: Wie kommst du von $\lim_{x \to \infty}(2-e^{\frac{\ln{a}}{x}})^x$ zu $\lim_{x \to \infty}(2-1-\frac{\ln{a}}{x}+O(\frac{1}{x^2}))^x$ Sehe ich es richtig, dass du \(e^{\frac{ln a}{x}}\) als \(1-\frac{ln a}{x}+O(\frac{1}{x^2})\) umgeschrieben hast? Wie kommt man auf diese Umformung und was hat das O für eine Bedeutung? Danke und lg raede


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Squire
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-10

$e^t=1+t+t^2/2+...$ ist die Taylorreihe der Exponentialfunktion. Das große O soll ein Landau-Symbol sein; im Netz findest du Näheres. Hier bedeutet es alle Glieder der Taylorreihe mit den Exponenten 2 oder höher. Grüße Squire


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ochen
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-10

Hallo, falls du die Regel von l'Hospital kennst, ist es vielleicht sinnvoll den folgenden Grenzwert zu bestimmen: \[\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(2-a^{1/x})}{1/x} = \lim_{y\to 0}\frac{\ln(2-a^{y})}{y}.\]


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raede
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-10

Hallo ochen Vielen Dank für diese Idee. Ich habe nun den Grenzwert berechnet. Es ist \(\frac{1}{a}\). Das was ich nicht verstehe, ist, warum es erlaubt ist den Satz von l'hôpital anzuwenden. Gem. unserem Skript müsste der Zähler wie auch der Nenner gegen 0 konvergieren. Dies ist hier nicht der Fall, oder? Hier ist nur der Zähler konvergent gegen 0.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-10

Huhu raede, \quoteon(2020-03-10 18:51 - raede in Beitrag No. 5) Dies ist hier nicht der Fall, oder? Hier ist nur der Zähler konvergent gegen 0. \quoteoff wie kommst du auf diesen Quatsch? Der Nenner lautet doch einfach \(y\), was für \(y\to 0\) nun deiner Meinung nach nicht gegen Null konvergieren soll?! Gruß, Küstenkind


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raede
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-10

Hallo Kuestenkind sorry, habe das verwechselt. Genau der Nenner läuft gegen 0. Müsste der Zähler nicht auch gegen 0 gehen, damit der Satz von l'hôpital angwendet werden kann?


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Kuestenkind
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  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-10

\quoteon(2020-03-10 19:56 - raede in Beitrag No. 7) Müsste der Zähler nicht auch gegen 0 gehen, damit der Satz von l'hôpital angwendet werden kann? \quoteoff Das tut er doch auch. Es ist \(\ln\left(2-a^0\right)=\ln(2-1)=\ln(1)=0\). Gruß, Küstenkind


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raede
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-10

Sorry, stimm! Jetzt sehe ich es auch. Danke!


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