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Universität/Hochschule Kitaev-Kette und neues Vakuum
Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-15


Hi,

gegeben sei der tight-binding Hamiltonian einer eindimensionalen Kette der Länge $N$

$$ H(c_l, c_l^{\dagger}) \equiv H = t \sum_{l = 1}^{N-1} c_{l + 1}^{\dagger} + c_l^{\dagger} c_{l + 1} + c_l^{\dagger} c_{l + 1}^{\dagger} + c_{l + 1}c_l \text{.}
$$
mit fermionischen Operatoren $c_l$. Es ist jetzt eine Standard-Prozedur (siehe z.B. hier oder hier) neue Operatoren einzuführen, nämlich

$$ \eta_l = c_l + c_l^{\dagger}, \quad \chi_l = - \mathrm{i} ( c_l - c_l^{\dagger})
$$
und

$$ d_l = \frac{1}{2} (\eta_{l + 1} + \mathrm{i} \chi_l), \quad d_l^{\dagger} = \frac{1}{2} ( \eta_{l + 1} - \mathrm{i} \chi_l)
$$
und zu zeigen, dass die operatoren $d_l$, $d_l^{\dagger}$ die CAR erfüllen und den Hamiltonian auf die Gestalt

$$ H(d_l, d_l^{\dagger}) \equiv H = \alpha \operatorname{id.} + \beta \sum_{l = 1}^{N - 1} d_l^{\dagger} d_l
$$
zu bringen.

Nach dem Vorbild von index_razor in diesem Thread wollte ich das neue Vakuum $| \text{vac.}\rangle$ ermitteln, welches $d_l |\text{vac.}\rangle = 0$ erfüllt. Ich erhalte für $N = 2$ und $N = 3$ aber nur die triviale Lösung $|\text{vac.}\rangle = 0$.

Mache ich vielleicht einen Fehler bei der Interpretation oder verrechne ich mich?

Ich freue mich auf Rückmeldung.


Grüße
Skalhoef

P.S.: Ich habe natürlich auch die Rechnungen um die Gestalt des Hamiltonians nachzuweisen und auch die Rechnungen um das Vakuum zu berechnen, mit dem Koeffizientenvergleich der dann schließlich $|\text{vac.}\rangle = 0 (\neq |0\rangle)$ liefert. Um die Fragestellung einigermaßen kompakt zu halten poste ich die aber (erst einmal) nicht.



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John_Matrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-13


Hi Skalhoef,

was du beschreibst, kann aus folgendem Grunde eigentlich nicht passieren.
Die $d_l^\dagger d_l$ kommutieren ja alle miteinander. Also haben sie einen gemeinsamen Eigenzustand $|\phi\rangle$. Dieser ist insbesondere nicht Null.
Auf $|\phi\rangle$ nimmt dann jedes der $d_l^\dagger d_l$ entweder den Wert $0$ oder den Wert $1$ an. Mit jenen $l$, wo der Wert $0$ ist, bist du zufrieden, denn dann gilt wegen
$\langle\phi|d_l^\dagger d_l|\phi\rangle=0$ auch $ d_l|\phi\rangle=0$.

Andererseits, nimmt fuer irgend ein $l$ der Operator $d_l^\dagger d_l$ auf $|\phi\rangle$ den Wert $1$ an, ist also

$d_l^\dagger d_l|\phi\rangle= |\phi\rangle  \qquad (1)$,

dann ist durch $|\phi'\rangle = d_l |\psi\rangle$ ein neuer gemeinsamer Eigenzustand der $d_l^\dagger d_l$ definiert. Insbesondere kann wegen $(1)$  $|\phi'\rangle$ nicht Null sein!
Ausserdem ist nun $d_l |\phi'\rangle=0$. So kann man immer weiter verfahren, bis man dann ein Vakuum hat, dass von allen $d_l$ annihiliert wird. Diese Prozedur fuehrt auf jeden Fall zu so einem Vakuum, und es ist insbesondere garantiert von Null verschieden. Du musst also einen Fehler gemacht haben.




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