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Kein bestimmter Bereich J Induktionsbeweis
minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-17


Hallo!

In meinem Buch soll bewiesen werden durch Induktion:

\({ 3 }^{ n }>{ 2 }^{ n }+2{ n }^{ 2 }+1\) für \(n\ge 4\)

Der Induktionsschluss im Buch \(n\rightarrow n+1\) lautet dann:

\({ 3 }^{ n+1 }=3\cdot { 3 }^{ n }\quad \quad >3\left( { 2 }^{ n }+2{ n }^{ 2 }+1 \right) \\ \qquad \qquad \qquad >{ 2 }^{ n+1 }+\left( 2{ n }^{ 2 }+4{ n }^{ 2 }+2 \right) +1\\ \qquad \qquad \qquad >{ 2 }^{ n+1 }+2\left( { n }^{ 2 }+2n+1 \right) +1={ 2 }^{ n+1 }+2{ \left( n+1 \right)  }^{ 2 }+1\)

Meine Umformung von der ersten zur zweiten Zeile würde dagegen lauten:

\({ 3 }^{ n+1 }=3\cdot { 3 }^{ n }\quad \quad >3\left( { 2 }^{ n }+2{ n }^{ 2 }+1 \right) =\left( 2+1 \right) \cdot \left( { 2 }^{ n }+2{ n }^{ 2 }+1 \right) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =2\cdot { 2 }^{ n }+4{ n }^{ 2 }+2+{ 2 }^{ n }+2{ n }^{ 2 }+1\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ={ 2 }^{ n+1 }+{ 2 }^{ n }+6{ n }^{ 2 }+3\)

Da ist der Buch-Term \({ 2 }^{ n+1 }+\left( 2{ n }^{ 2 }+4{ n }^{ 2 }+2 \right) +1\) natürlich kleiner, weshalb die obige Ungleichung stimmt.

Ich frage mich jetzt aber, übersehe ich etwas oder ist es üblich, bei einer Umformung etwas wegzulassen, damit man etwas besser zeigen kann. Oder habe ich mich verrechnet oder ist das ein Schreibfehler?

Und nein, nach der ‚n+1‘-Kontrolle bin ich mir sicher, nichts falsch abgeschrieben zu haben ;-)

Vielen Dank schon mal im voraus für eure Hilfe und

viele Grüße,

minusphalbe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-17


Hallo,

ich verstehe das Ziel deiner Umformung nicht. Man möchte doch am Ende eben unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung den Induktionsschluss zeigen, aber bei dir steht ja etwas völlig anderes am Schluss. Wohingegen bei der Version aus dem Buch eben eine Ungleichungskette entsteht, die genau den Induktionsschluss beinhaltet.


Gruß, Diophant



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SergejGleitman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-17


Hallo minusphalbe,

wenn du eine Ungleichung zeigen möchtest, dann kannst du natürlich Terme wegfallen lassen, wenn das die Ungleichung erhält(!). Diese Abschätzungen sind teilweise sogar notwendig, um zum Ziel zu gelangen (siehe Lösungsweg im Buch). Du hast dich nicht verrechnet, aber man könnte sagen, dass du noch nicht fertig mit dem Beweis bist.
Bei Induktionen kann man sich durch Umformungen durchaus in Sackgassen manövrieren. Das bedeutet nicht zwangsläufig, dass mann formal einen Fehler macht, der Ansatz bringt einen nur nicht weiter.

Ich hoffe ich konnte helfen.

LG Serj



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-17


Hallo Diophant, hallo Serj,

ich hatte kein Ziel mit der Umformung, sondern habe nur stur versucht, den Buch-Term umzuformen, um ihn dadurch besser nachvollziehen zu können.
Wenn ich dich, Serj richtig verstehe, ist aber etwas Kreativität im Rahmen der mathematischen Korrektheit durchaus notwendig und üblich beim Beweisen.
Und da konnte ich schon wieder etwas dazulernen.

Vielen Dank! und viele Grüße,

minusphalbe




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SergejGleitman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-17


Hallo minusphalbe,

2020-03-17 18:03 - minusphalbe in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn ich dich, Serj richtig verstehe, ist aber etwas Kreativität im Rahmen der mathematischen Korrektheit durchaus notwendig und üblich beim Beweisen.

da liegst du vollkommen richtig. Das ist quasi auch der Teil, der schwer zu lehren ist, der aber die Mathematik/ das Beweisen erst interessant macht.

Bei Induktionsbeweisen kann ich dir noch die Heuristik des Vorwärts-/Rückwärtsrechnens mit an die Hand geben:
Du rechnest so lange von links aus und versuchst an das Ziel/ die rechte Seite (das kennt man ja bei Induktionsbeweisen) heranzukommen bis du nicht mehr weiter kommst.
Dann versuchst du es vom bisherigen Ziel aus diesen Term so umzuformen, dass du an den Start bzw. das "linke Ende" dichter rankommst. Wenn du noch nicht fertig bist wiederholst du das.

Bei Induktionsbeweisen von Ungleichungen ist das aber etwas schwieriger, weil du aufpassen musst nicht zu viel "loszuwerde" oder "dazuzunehmen".
Ich hoffe das war verständlich.

Liebe Grüße
Serj




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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-18


Hallo,

zunächst bitte ich um Entschuldigung dafür, daß ich gestern nicht mehr geantwortet habe. Das hat aber auch sein Gutes, denn ich konnte nochmal ne Nacht drüber schlafen. Und das hat gebracht, daß ich mir jetzt meiner Verwirrung klarer bewußt bin, ich muß den Fall also sozusagen nochmal aufrollen:

Erstmal vielen Dank, Serj für deine ‚Handreichung‘ - unbewußt gucke ich natürlich schonmal, wo die Reise hingehen soll (auf die rechte Seite) und gucke, ob ich denn auch Kurs halte (linke Seite), aber das ist ein guter Tipp: es ist sehr hilfreich, daß ganz bewußt als ein Werkzeug zu betrachten.

Ich habe aber auch nochmal überlegt, ob ich wirklich kein Ziel hatte mit meiner Umformung und wieso ich dabei so stur war.

Denn jetzt die Verwirrung:

Ich darf doch von einer falschen Prämisse ausgehen in der Induktionsbehauptung, oder?

Ein Beispiel: Bleistift kaufen: links Wert des Bleistifts, rechts Preis = 1000€. Der Verkäufer behauptet: Wert > Preis. Glaub’ ich ihm nicht. Er gibt ‚in der nächsten Zeile‘ 10% Rabatt. Glaub’ ich ihm nicht. Nächste Zeile 10€  Sondernachlass. Jetzt gefällt mir der Preis (genau diesen hatte ich mir vorab ERHOFFT), ist ja schließlich auch zweimal reduziert worden, und kaufe den Bleistift für 890€ > Wert des Bleistifts.

Wo liegt mein Denkfehler? Wo hinkt der Vergleich? Sind Induktionsschlüsse bei Ungleichungen nicht eher unangebracht?

Mit der Bitte um Auflösung grüßt,

minusphalbe





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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo minusphalbe,

dein Vergleich hinkt, um ehrlich zu sein. Es kommt überhaupt nicht darauf an, ob man eine Gleichung, eine Ungleichung oder eine beliebige andere Relation zeigen möchte.

Bei der vollständigen Induktion beweist man eine sog. Aussageform A(n). Das ist eine (logische) Aussage, deren Wahrheitswert noch von der Variablen n abhängt. Durch das Prinzip wird eine solche Aussageform bekanntlich für alle n ab dem Induktionsanfang bewiesen (bzw. die Tastache, dass sie für \(n\ge n_0\) wahr ist).

Wie dann der Induktionsschluss aussieht, hängt einzig und allein von der zu zeigenden Aussageform ab. Aber warum soll das für Ungleichungen ungeeignet sein?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-18


Hallo Diophant!

Danke für deine Antwort! Auf die Gefahr hin, deine Geduld überzustrapazieren:

Ich meine das so:

Kann es nicht den Fall geben, daß es eine (Ungleichungs-)Aussage gibt, für die ein Start-n beim Induktionsanfang noch stimmen mag, die aber ansonsten falsch ist (weil viel größer, statt, wie angenommen, viel kleiner). Jetzt wird diese Aussage für irgend ein n (fälschlicherweise) als wahr vorausgesetzt. Dann (wie in meiner Aufgabe) mit 3 multipliziert. Nun ist die Aussage ‚dreimal so falsch‘. Dann wird nach und nach etwas subtrahiert (aber nur auf der rechten Seite, so wie in meiner Aufgabe) und irgendwann fehlt rechts so viel, daß nun die Ungleichung stimmt. Zum Schluß darf ich dann sogar noch für jedes n ein n+1 einsetzten, denn, nach dem so viel ‚rum-subtrahiert‘ wurde, paßt es schließlich.

Bei einer Gleichungsaussage dagegen wäre man doch eigentlich schon in dem Moment fertig mit dem Beweis, wo man im Induktionsschluß die Beweisidee auf n->n+1 anwendet, sofern man den perfekten mathematischen Blick für alle nun noch folgenden Umformungen hat.

[Ich will wirklich nicht nerven oder das Rad neu erfinden! 10^6 Mathebücher und 10^5 Mathematiker können nicht irren, von daher könnten wir an dieser Stelle auch die Diskussion beenden. Vielleicht sollte ich das hier vertagen und erstmal einfach mit dieser Lücke, bzw. dem Schlauch, auf dem ich gerade anscheinend stehe, weitermachen?]

Viele Grüße,

minusphalbe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-18


Hallo,

du musst zwei Dinge im Zusammenhang sehen: den Induktionsanfang und den Induktionsschluss. Letzterer sagt über den Wahrheitswert von A(n) überhaupt nichts aus, sondern er beinhaltet einen Beweis der Form: wenn A(n) wahr ist, dann auch A(n+1). Das ist bis hierher alles gut und schön aber für sich genommen überhaupt nichts wert.

Wenn wir jetzt allerdings für einen Induktionsanfang, etwa n=1, nachrechnen, dass unsere Aussageform wahr ist: also A(1) ist wahr. Da wir A(n)=>A(n+1) bewiesen haben folgt dann daraus A(2), daraus wiederum A(3) usw.

Und dieses Prinzip ist völlig unabhängig davon, wie die Aussageform A(n) mathematisch genau notiert ist.


Gruß, Diophant



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-18


Huhu minusphalbe,

da ich gerade an anderer Stelle mit der Aufgabe zu tun hatte: Beweise doch mal (falls du noch mal üben möchtest) \(2^n > n^3\) für geeignetes \(n\).

Gruß,

Küstenkind



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-19


Hallo!

Danke, Diophant für deinen abermaligen Versuch, mir das näher zu bringen.

und

Danke, Kuestenkind für deine Aufgabe.

\({ 2 }^{ n }>{ n }^{ 3 }\) für n = 1 => 2 > 1 wahre Aussage.

\({ 2 }^{ n }>{ n }^{ 3 }\) für 1 < n < 10 (durch probieren) falsche Aussage.

\({ 2 }^{ n }>{ n }^{ 3 }\) für für n ≥ 10

Substitution: n = 9 + k mit \(k\in {N}\)

Induktionsanfang: k=1

\({ 2 }^{ 9+1 }=1024>{ \left( 9+1 \right)  }^{ 3 }=1000\)

Induktionsannahme:

\({ 2 }^{ 9+k }>{ \left( 9+k \right)  }^{ 3 }\)

Induktionsschluss:

k —> k+1

\({ 2 }^{ 9+k+1 }={ 2 }^{ 9 }\cdot { 2 }^{ k }\cdot 2>2\cdot { \left( 9+k \right)  }^{ 3 }=2{ \cdot 9 }^{ 3 }+6\cdot { 9 }^{ 2 }k+6\cdot 9{ k }^{ 2 }+2\cdot { k }^{ 3 }\\ \qquad \qquad \qquad \quad \quad >1000+300k+30{ k }^{ 2 }+{ k }^{ 3 }={ 10 }^{ 3 }+3\cdot { 10 }^{ k }+3\cdot 10{ k }^{ 2 }+{ k }^{ 3 }={ \left( 10+k \right)  }^{ 3 }={ \left( 9+k+1 \right)  }^{ 3 }\)
wahre Aussage

(fehlt das Rücksubstituieren?)

War hier denn eine Fallunterscheidung überhaupt notwendig?

\({ 2 }^{ n+1 }>2\cdot { n }^{ 3 }\) zu zeigen, das wollte ich lieber umgehen.

Kann es Fälle von Induktionsbeweisen bei Gleichheitszeichen-Aussageformen geben, die von einer falschen Prämisse ausgehen?

Mein Buch schreibt dazu: „Da diese Implikation immer wahr ist, wenn die Prämisse A(n) falsch ist, kann man einfach voraussetzen, dass A(n) wahr ist.“

Viele Grüße,

minusphalbe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

das ist leider noch nichts geworden. Der Induktionsanfang passt, den rechnet man mit

\[2^{10}=1024>1000=10^3\]
einfach nach. Dann: deine Substitution ist völlig unnötig und macht das ganze dementsprechend kompliziert. Der Kardinalfehler ist aber, dass du den Induktionsschluss nicht begründest, also für mich geht da nicht hervor, wo die Induktionsannahme ins Spiel kommt bzw. warum deine Ungleichung stimmt.

Fange das ganze einmal so an:

\[2^{n+1}=\underbrace{2\cdot 2^n>2\cdot n^3}_{\text{Induktionsannahme}}=n^3+n^3>n^3+\dotsc\]
Finde den Rest! 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-19


Hallo, Diophant!

Vielen Dank für deine Korrektur.

So vielleicht?

\(2^{ n+1 }=\underbrace { 2\cdot 2^{ n }>2\cdot n^{ 3 } }_{ { Induktionsannahme } } =n^{ 3 }+n^{ 3 }>n^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3n+1={ \left( n+1 \right)  }^{ 3 }\)

Gruß,

minusphalbe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-03-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

genau so war es gemeint.

Unter Umständen muss man das noch näher begründen, aber mit der Kenntnis, dass \(n^3\) schneller wächst als \(n^2\) ist es ja doch offensichtlich. Alles nach wie vor unter der Bedingung \(n\ge 10\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-19


O.k. - und nochmals vielen Dank!

Gruß,

minusphalbe



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-03-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Huhu ihr beiden,

es mag vll daran liegen, dass ich gerade gesundheitlich etwas eingeschränkt bin, aber ich sehe das irgendwie genau anders herum. Ich habe zwar noch nie so eine Substitution in einem Induktionsbeweis gesehen, sehe aber nicht, dass es verkehrt ist. Du schreibst:

2020-03-19 09:29 - Diophant in Beitrag No. 11 schreibt:
Der Kardinalfehler ist aber, dass du den Induktionsschluss nicht begründest, also für mich geht da nicht hervor, wo die Induktionsannahme ins Spiel kommt bzw. warum deine Ungleichung stimmt.

Hier:

2020-03-19 07:59 - minusphalbe in Beitrag No. 10 schreibt:
Induktionsannahme:

\(\color{red}{{ 2 }^{ 9+k }>{ \left( 9+k \right)  }^{ 3 }}\)

Induktionsschluss:

k —> k+1

\({ 2 }^{ 9+k+1 }=\color{red}{{ 2 }^{ 9 }\cdot { 2 }^{ k }}\cdot 2>2\cdot \color{red}{{ \left( 9+k \right)  }^{ 3 }}=2{ \cdot 9 }^{ 3 }+6\cdot { 9 }^{ 2 }k+6\cdot 9{ k }^{ 2 }+2\cdot { k }^{ 3 }\\ \qquad \qquad \qquad \quad \quad >1000+300k+30{ k }^{ 2 }+{ k }^{ 3 }={ 10 }^{ 3 }+\color{blue}{3\cdot { 10 }^{ k }}+3\cdot 10{ k }^{ 2 }+{ k }^{ 3 }={ \left( 10+k \right)  }^{ 3 }={ \left( 9+k+1 \right)  }^{ 3 }\)


Das blaue ist natürlich ein Schreibfehler. Ansonsten sind die weiteren Abschätzungen ja offensichtlich, da nur die Koeffizienten abgeschätzt werden. Übersehe ich etwas?

Dagegen sollte - so finde ich - das rote Relationszeichen dort

2020-03-19 18:42 - minusphalbe in Beitrag No. 12 schreibt:
\(2^{ n+1 }=\underbrace { 2\cdot 2^{ n }>2\cdot n^{ 3 } }_{ { Induktionsannahme } } =n^{ 3 }+n^{ 3 }\color{red}{>}n^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3n+1={ \left( n+1 \right)  }^{ 3 }\)

unbedingt noch begründet / nachgewiesen werden. Ich würde mich als Korrektor damit nicht zufrieden geben.

Gruß (und bleibt gesund),

Küstenkind


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-03-19


@Kuestenkind:
Ja, du hast recht, da hatte ich mich verlesen (vielen Dank für den Hinweis & gute Besserung!).

@minusphalbe:
Also, wie gesagt: sorry für meinen Fehler und deine Variante ist zwar ungewöhnlich aber richtig.


Gruß, Diophant



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minusphalbe
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Hallo Kuestenkind!

Das Wichtigste zu erst: werde wieder gesund!!!

…Ich würde mich als Korrektor damit nicht zufrieden geben...

Ich war als Schreiber auch ein klein wenig enttäuscht, daß das die Lösung sein soll, genau weil ich nichts begründe (von daher finde ich Diophants ‚Kleingedrucktes‘ doch hilfreich) - am liebsten hätte ich das auch nachgewiesen aber ich weiß überhaupt nicht, wie man so etwas stichhaltig macht.

Auch lese ich heraus, daß du die Induktion anders gemacht hättest. Wenn’s dich nicht zu sehr anstrengt (in deinem Zustand) - könntest du mir da vielleicht noch etwas zeigen? Wenn nicht ist auch o.k., ich bleib’ eh’ dran und schaff das vielleicht später.

Viele Grüße und gute Besserung,

minusphalbe

p.s.: - hallo, Diophant, kein Ding, ich möchte etwas lernen und du/ihr hilfst/helft mir - besser geht nicht ;-)



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-03-19


Danke für die netten Genesungswünsche!

Für \(n\geq 10\) gilt doch \(n^3=n\cdot n^2\geq 10\cdot n^2
\)

Damit bekommst du dann:

\(\displaystyle 2^{n+1}=2\cdot 2^n\stackrel{(1)}{>} 2n^3=n^3+n^3\stackrel{(2)}{\geq} n^3+10n^2
\)

(1) gilt dabei nach IV und (2) nach obiger Ungleichung. Nun könntest du \(10n^2=3n^2+7n^2\) schreiben, wobei du den letzten Summanden mit einer analogen Ungleichung wie oben weiter abschätzen kannst. Kommst du damit weiter?

Gruß,

Küstenkind




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Diophant
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo minusphalbe,

den Rest könnte man - wieder unter Beachtung von \(n\ge 10\) - folgendermaßen abschätzen:

\[\ba
n^3+n^3&>n^3+7n^2\\
\\
&=n^3+3n^2+3n^2+n^2\\
\\
&>n^3+3n^2+3n+1\\
\\
&=(n+1)^3
\ea\]

Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
\(\endgroup\)


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minusphalbe
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Hallo Kuestenkind, hallo Diophant!

Vielen Dank, da habe ich mich gefreut!

Einen Term auseinander ziehen und ihn dann portionsweise ändern, wenn man es mit Ungleichungen zu tun hat - das ist stark und elegant, finde ich. Kommt gleich in meine Werkzeugkiste ;-)

Eine letzte Bemerkung sei vielleicht noch gestattet:

Da hatte ich vermutlich aber trotzdem Glück, daß deine Ungleichung, Kuestenkind, nicht erst bei n > 123.456.789 ihr wahres Gesicht gezeigt hat, oder?

Vielen Dank euch, viele Grüße und gute Besserung nochmals,

minusphalbe



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Kuestenkind
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2020-03-20 08:13 - minusphalbe in Beitrag No. 20 schreibt:
Da hatte ich vermutlich aber trotzdem Glück, daß deine Ungleichung, Kuestenkind, nicht erst bei n > 123.456.789 ihr wahres Gesicht gezeigt hat, oder?

Nun - mit Neuankömmlingen sind wir hier immer recht gnädig - gewöhne dich aber besser nicht daran! Ich wünsche dir dennoch viel Spaß hier weiterhin auf dem Planeten!

Hier wäre noch der Rest von meiner Beweiskette:

\(2^{n+1}=2\cdot 2^n\stackrel{(1)}{>} 2n^3=n^3+n^3\stackrel{(2)}{\geq} n^3+10n^2=n^3+3n^2+7n^2\stackrel{(3)}{\geq} n^3+3n^2+70n=n^3+3n^2+3n+67n\stackrel{(4)}{\geq} n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3\)

\((1)\quad \text{Induktionsvoraussetzung}\)

\((2)\quad n^3=n\cdot n^2\geq 10\cdot n^2\) für alle \(n\geq 10\)

\((3)\quad n^2=n\cdot n\geq 10\cdot n\) für alle \(n\geq 10\)

\((4)\quad 67n>67>1\) für alle \(n\geq 10\)

Dieses nur, damit du siehst, wie man sowas aufschreiben kann. Gerade als Erstsemestler ist es wichtig, dass du einen formal strengen Beweis notieren kannst, dazu gehört eben, jedes Relationszeichen in der Kette zu begründen.

Erst wenn du 50 Induktionen hinter dir hast, dann kannst du es so aufschreiben wie Diophant (er hat bestimmt die 50 schon voll) in #19.

Gruß,

Küstenkind



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minusphalbe
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:-)



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-03-20


Für Leute, die so wie ich Lösungen "off the beaten track" lieben, hier noch ein etwas anderer Lösungsweg, wobei nachfolgend stets $n\ge 10$ vorausgesetzt sei:

\[2^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk>\binom{n+1}1+\binom{n+1}3+\binom{n+1}5+\binom{n+1}7+\binom{n+1}9>\\>n+\binom{n+1}3(1+\frac{8\cdot 7}{4\cdot 5}+\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}+\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4})=\\=n+\binom{n+1}3(1+\frac{14}5+2+\frac13)=n+(n^3-n)\frac{46}{45}>n+(n^3-n)=n^3\]
Edit: Erste Beweiszeile ergänzt (s.#24).



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-21


Hallo weird!

Wenn ich das so sagen darf: mir ist echt die Kinnlade runtergeklappt, als ich deinen Lösungsweg las! Das ist schon virtuos, würde ich sagen, mein jetziges Thema mit meinem vorherigen Thema (Biominalkoeffizienten) zu verbinden. Danke dir!

Hallo Kuestenkind!

Über meinen letzten Kommentar hinaus: ich scheine hier gelandet zu sein auf einem sehr freundlichen, spannenden, sogar witzigen Planeten mit Atmosphäre ;-)

Viele Grüße,

minusphalbe

( p.s.: ich traue mich mal: könnte es sein, weird, daß dir anfangs noch der Summand \(\binom {n+1}{9}\) fehlt? Würde gerade hinkommen.)



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-03-21


2020-03-21 09:49 - minusphalbe in Beitrag No. 24 schreibt:
( p.s.: ich traue mich mal: könnte es sein, weird, daß dir anfangs noch der Summand \(\binom {n+1}{9}\) fehlt? Würde gerade hinkommen.)

Zunächst danke für deinen wohlwollenden Kommentar! 🙂

Und ja, du hast natürlich recht, da der Fall $n=10$ mit $2^{10}=1024>10^3$ sich relativ "knapp" ausgeht, muss man wirklich genau für diesen Fall "alles in die Schlacht werfen", was geht, was man auch daran sieht, dass der Term $n+(n^3-n)\frac{46}{45}$ fast ganz am Ende für $n=10$ den Wert 1022 liefert, also die Abweichung vom genauen Wert für $2^{10}$ nur 2(!) beträgt. Ich habe also $\binom{n+1}9$ sehr wohl berücksichtigt, aber einfach nur vergessen auch hinzuschreiben und werde das oben dahingehend noch ausbessern.




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