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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » M⊂N ⇒ M∩N=M
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Kein bestimmter Bereich M⊂N ⇒ M∩N=M
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-19


Hallo,
ist folgender Beweis richtig ?

z.Z. M⊂N ⇒ M∩N=M

Beweis durch Widerspruch.

Sei M⊂N eine wahre Aussage.

Es gilt: M∩N≠M ⇒ M⊄N

M⊄N widerspricht der Annahme M⊂N.

Damit ist M⊄N eine falsche Aussage, so dass M∩N≠M eine falsche Aussage ist und M∩N=M eine wahre Aussage ist.

M⊂N ist wahr, M∩N=M ist wahr , damit ist die Implikation M⊂N ⇒ M∩N=M wahr.

q.e.d.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-19


Eigentlich beweist man so etwas, indem man beide Inklusionen zeigt:

Zeige $M \cap N \subset M$.
Sei dazu $x \in M \cap N$ beliebig, also $x \in M \wedge x \in N$. Wie wir sehen, gilt auf jeden Fall $x \in M$ und die erste Inklusion ist gezeigt.
Hierbei wurde die Idee des "Weglassens" einer Aussage benutzt.
Es gilt ganz allgemein für Aussagen p und q: $p \wedge q \rightarrow p$ respektive. $p \wedge q \rightarrow q$.

Zeige $M \subset M \cap N$. Sei nun $x \in M$ beliebig. Jetzt du! 😉


Viele Grüße,
X3nion



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-20


Hallo,

danke.

Zeige M ⊂ M∩N.
Sei x ⊂ M beliebig.
Sei M ⊂ M∩N = M⊂M ∩ M⊂N.
M⊂M ∩ M⊂N:={ ∀x∈M:x∈M ∧ ∀x∈M:x∈N}
⇔ M⊂M ∩ M⊂N:={ x∈M ∧ x∈N}     ( M⊂N lt. Implikationsanfang)




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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-20


Das Rumhantieren mir Äquivalenzen und Mengen macht die Sache nur unnötig kompliziert.

Wir wollen $M \subset M \cap N$ zeigen unter der Annahme, dass $M \subset N$ gilt.
Folglich wollen wir die Inklusion $M \subset M \cap N$ zeigen. In Aussagenform bedeutet das, dass also $\forall x \in M: x \in M \cap N$.

Wir nehmen zusätzlich an, dass
(1) $M \subset N$. In Aussagenform heißt das also: Für alle $y \in M$ gilt: $y \in N$.


Sei nun also $x \in M$ beliebig.
Wenden wir (1) auf dieses x an, so folgt, dass $x \in N$. Also haben wir $x \in M \wedge x \in N$, mithin $x \in M \cap N$, wie gewünscht.

Viele Grüße,
X3nion



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-20


Hallo,

ist folgendes richtig bei  Beschränktheit auf Mengen und Mengenoperationen innerhalb der folgenden Beweisführung ?


z.Z. M ⊂ M∩N
es gilt M⊂N.

     M ⊂ N
⇔ (M∩M) ⊂ N     mit M=M∩M
⇔ M⊂M∩M⊂N       mit M=M⊂M
⇔ M⊂ (M∩N)

somit gilt: M⊂N⇒ M ⊂ M∩N



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