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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » L⊂N und M⊂N ⇒ L∪M ⊂ N
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Kein bestimmter Bereich L⊂N und M⊂N ⇒ L∪M ⊂ N
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-20


Hallo,

ist folgende Ausführung richtig ?


z.Z. L⊂N und M⊂N ⇒ L∪M ⊂ N

L ⊂ N  :={∀x∈L: x∈N}  
M ⊂ N  :={∀x∈M: x∈N}
damit gilt: {∀x∈L v ∀x∈M : x∈N} := L∪M ⊂ N



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-20


Hallo Marcusius,

das ist leider mathematischer Kauderwelsch 🙄

L ⊂ N ist eine Aussage und {∀x∈L: x∈N} ist wegen der Mengenklammern bestenfalls eine Menge. Allerdings darf man eine Menge nicht so schreiben. Ohne die Mengenklammer wird eine Aussage draus.

∀x∈L v ∀x∈M : x∈N ist hingegen noch nicht mal eine vernünftige Aussage 🙄



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-20


L⊂N  ⇒ l∈N
M⊂N  ⇒ m∈N

somit: l ∨ m ∈ N ⇒ L∪M ⊂ N



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-20


Das ist leider keinen Deut besser. Im Gegenteil, würde ich sagen. Wenn dir die mathematische Formelsprache fremd ist, versuche es besser in vollständigen Sätzen der deutschen Sprache zu formulieren.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-20


Da die Mengen L wie auch M jeweils Teilmengen von N sind, so ist auch ihre Vereinigung eine Teilmenge von N.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-20


2020-03-20 21:28 - Marcusius in Beitrag No. 4 schreibt:
Da die Mengen L wie auch M jeweils Teilmengen von N sind, so ist auch ihre Vereinigung eine Teilmenge von N.

Gratulation! Du hast das, was es zu beweisen gilt, in einen verständlichen Satz der deutschen Sprache übersetzt. Nun ist der Beweis gefordert! (Zugegeben: der Beweis ist trivial.)



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-21


Hallo StrgAltEntf,

ich danke für die Antwort.
wird es nun folgendes sein ?

z.Z. ist L⊂N und M⊂N ⇒ L∪M ⊂N

Da L⊂N ist gilt ∀l∈ L: l∈N
Da M⊂N ist gilt ∀m∈M: m∈N
Somit ist l,m∈N und damit L∪M ⊂N



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-21


Hallo Marcusius,

wenn eine Teilmengenbeziehung \(A\subseteq B\) gezeigt werden soll, geht man wie folgt vor: Man nimmt ein beliebiges x aus der Menge A und zeigt, dass x in der Menge B liegt.

Hier soll \(L\cup M\subseteq N\) gezeigt werden. Als Voraussetzung haben wir \(L\subseteq N\) und \(M\subseteq N\).

Sei also \(x\in L\cup M\). Zu zeigen ist \(x\in N\).

Beweis:
Da \(x\in L\cup M\), gilt nach Definition der Vereinigungsmenge, dass \(x\in L\) oder \(x\in M\) (oder sogar beides).

1. Fall: \(x\in L\)
Da nach Voraussetzung \(L\subseteq N\) gilt, folgt \(x\in N\).

1. Fall: \(x\in M\)
In diesem Fall folgt analog zum 1. Fall, dass \(x\in N\)

In beiden Fällen folgt also \(x\in N\). q. e. d.



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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-21


Darüber hinaus gilt:

\(L\cup M\) ist die kleinste Menge, die \(L\) und \(M\) enthält und somit in jeder anderen Menge \(N\) mit dieser Eigenschaft enthalten.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


Hallo StrgAltEntf,

danke für die ausführliche Darbringung der Vorgehensweise.

kann der Sachverhalt auch so abgewandelt werden, dass als Voraussetzung nur L⊆N vorliegt und in der Vereinigung x nur in M liegt , so dass nicht auf L∪M⊆N geschlossen werden kann ?

Wenn ich jedoch recht überlege, dann wähle ich ein Element aus der Vereinigung von dem ich weiß, dass es in L liegt, sodass ich im Verbund mit der dazugehörigen Voraussetzung sicher auf L∪M⊆N komme.







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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-03-24


2020-03-23 21:33 - Marcusius in Beitrag No. 9 schreibt:
1) kann der Sachverhalt auch so abgewandelt werden, dass als Vorraussetzung nur L⊆N vorliegt und in der Vereinigung x nur in M liegt , so dass nicht auf L∪M⊆N geschlossen werden kann ?

2) Wenn ich jedoch recht überlege, dann wähle ich ein Element aus der Vereinigung von dem ich weiß, dass es in L liegt, sodass ich im Verbund mit der dazugehörigen Voraussetzung sicher auf L∪M⊆N komme.

1) Richtig. Wenn als Voraussetzung (mit nur einem r!) nur \(L\subseteq M\) zur Verfügung steht und es ein \(x\in M\setminus L\) gibt, kann nicht auf \(L\cup M\subseteq N\) geschlossen werden. (Habe ich dich hier richtig verstanden?)

2) Nein! Du musst auch Elemente aus M zulassen, um L∪M ⊆ N zu beweisen. Den Fall 2 in Beitrag #7 darfst du also nicht auslassen.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-24


Hallo StrgAltEntf,

danke für die Antwort.

zu 1) : Ja, richtig verstanden.
zu 2) : das sehe ich nun auch, denn sonst wäre M aus L∪M außerhallb von N  während L in N liegen würden.



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