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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Unlösbarkeit einer Klasse von Gleichungen der Form R(f(z),exp(r(f(z)))) durch elementare Funktionen?
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Kein bestimmter Bereich Unlösbarkeit einer Klasse von Gleichungen der Form R(f(z),exp(r(f(z)))) durch elementare Funktionen?
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-21


Hallo.

1.) Sind meine Vermutung und mein Beweisentwurf vollständig, korrekt und gut formuliert? Wie kann man sie noch verbessern?

2.) Ist der Satz trivial? Ich denke, für Nicht-Mathematiker ist er nicht trivial.

Ich bin kein Student und kein Mathematiker.

Ich möchte meine Vermutung mithilfe von Lins Satz beweisen. Da meine Vermutung die Voraussetzungen aus Lins Satz enthält, ist der Beweis ganz einfach, und beinahe jeder von Euch kann meine Fragen beantworten - auch ganz ohne Kenntnis der Begriffe Elementare Funktionen, Elementare Zahlen, Liouvillesche Zahlen.

Es wäre schön, wenn Ihr mir eine Rückmeldung geben würdet. Um Euch nicht festzunageln, könntet Ihr ja ganz unverbindlich schreiben, z. B. "nach kurzem Überfliegen", "auf die Schnelle". Eure Antwort ist aber wichtig, denn Ihr seht doch viel mehr als ich Ungeübter.

Die Elementaren Funktionen sind nach Liouville und Ritt die Funktionen, deren Funktionswerte aus einer komplexen Variablen lediglich durch Anwendung einer endlichen Anzahl von $\exp$, $\ln$ und/oder algebraischen Operationen erzeugt werden.
Die Liouvilleschen oder Elementaren Zahlen sind die Zahlen, die aus den Rationalen Zahlen lediglich durch Anwendung einer endlichen Anzahl nicht konstanter elementarer Funktionen erzeugt werden.

$\mathbb{L}$ seien die Liouvilleschen Zahlen: , ,   , [Chow 1999].
$\mathbb{E}$ seien die expliziten Elementaren Zahlen: [Chow 1999].

Satz [Lin 1983]:
Wenn die Vermutung von Schanuel wahr ist und $\tilde{P}(X,Y)\in\overline{\mathbb{Q}}[X,Y]$ ein irreduzibles, die Unbestimmten $X$ und $Y$ enthaltendes Polynom ist und $\tilde{P}\left(\alpha,e^{\alpha}\right)=0$ für $\alpha\in\mathbb{C}$ ungleich $0$, dann ist $\alpha$ nicht in $\mathbb{L}$.

Vermutung:
Seien
$f$ eine elementare Funktion,
$P(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[x]\cup\overline{\mathbb{Q}}[y])$,
$Q(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]$ ungleich $0$,
$P(x,y)$ und $Q(x,y)$ teilerfremd,
$R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$,
$r(x)\in\overline{\mathbb{Q}}(x)$ nicht konstant.
Angenommen, die Vermutung von Schanuel ist wahr.
Wenn ein irreduzibles $\tilde{P}(x,y)\in\overline{\mathbb{Q}}[x,y]\setminus(\overline{\mathbb{Q}}[x]\cup\overline{\mathbb{Q}}[y])$ mit $R(x,y)=\tilde{P}(r(x),y)$ existiert und $R(f(z_0),e^{r(f(z_0))})=0$, dann gilt für jedes $z_0\in\mathbb{C}$ mit $r(f(z_0))\neq 0$, dass $z_0\notin\mathbb{L}$ und $z_0\notin\mathbb{E}$.

Beweisentwurf:
Wir beweisen unseren Satz mithilfe von Lins Satz. Lins Satz trifft Aussagen zu Gleichungen der Form $\tilde{P}(\alpha,e^\alpha)=0$, in denen $\alpha\in\mathbb{C}$ und $\tilde{P}(x,y)$ irreduzibel ist.
Unser Satz behandelt solche Gleichungen der Form $R(f(z_0),e^{r(f(z_0))})=0$, zu denen eine äquivalente Gleichung der Form $\tilde{P}(r(f(z_0)),e^{r(f(z_0))})=0$ existiert. Es ist $\forall z_0\in\mathbb{C}\colon r(f(z_0))\in\mathbb{C}$. Wir können deshalb in der letzten Gleichung setzen $r(f(z_0))=\alpha$, womit sich die Form $\tilde{P}(\alpha,e^\alpha)=0$ aus Lins Satz ergibt. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Lin erfüllt, und wir können ihn auf unsere Gleichung anwenden.
Nach dem Satz von Lin ist $\alpha\notin\mathbb{L}$. Da $\alpha=r(f(z_0))$, ist $r(f(z_0))\notin\mathbb{L}$. Weil $r$ und $f$ elementare Funktionen sind, gilt $r(f(z))\in\mathbb{L}$ für alle $z\colon z\in dom(r\circ f)\ \land\ z\in\mathbb{L}$. Weil aber wie gerade festgestellt $r(f(z_0))\notin\mathbb{L}$, ist $z_0\notin\mathbb{L}$.
Mit $\mathbb{E}\subset\mathbb{L}$ haben wir $z_0\notin\mathbb{L}\supset\mathbb{E}$, woraus sich $z_0\notin\mathbb{E}$ ergibt.
q.e.d.

[Chow 1999] Chow, T.: What is a closed-form number. Am. Math. Monthly 106 (1999) (5) 440-448

[Lin 1983] Ferng-Ching Lin: Schanuel's Conjecture Implies Ritt's Conjectures. Chin. J. Math. 11 (1983) (1) 41-50

Vielen, vielen Dank.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29


Könntet Ihr bitte Rückmeldungen geben? Der Satz ist neu und von einigem Wert für das Lösen von Gleichungen und anderen Fragen die damit zusammenhängen.

Hier könnt Ihr Mathematik mal außerhalb der Lehre anwenden und die Mathematik erweitern.

Ich brauche Eure Hilfe. Ich bin kein Mathematiker und kein Student.




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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-14


Schaut doch bitte mal drüber. Vermutung und Beweis sind doch ganz einfach, da sie sich direkt auf den Satz von Lin beziehen.

Ich muss wissen, ob ich nicht vielleicht doch etwas übersehen habe.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-25


Der Beweis ist doch wirklich äußerst einfach, wenn man den Satz von Lin als gegeben voraussetzt. Könnt Ihr mir bitte Rückmeldungen geben, ob Ihr Fehler oder andere Unzulänglichkeiten gefunden habt?

Es ist wichtig, geht es doch um einen neuen Satz.

Dass das Thema aktuell ist, zeigt u. a. der folgende neue Artikel.
Belov-Kanel, A.; Malistov, A.; Zaytsev, R.: Solvability of equations in elementary functions. Journal of Knot Theory and Its Ramifications 29 (2020) (2) 204-205











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