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Kein bestimmter Bereich J Vertrauensbereich und Vorhersagebereich
HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-23


Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit dem Vertrauensbereich (Confodence Interfall) und Vorhersagebereich (Prediction Intervall) für einen geschätzten Mittelwert und Varianz.
Dazu habe ich untere Formeln gefunden.

Meine Frage: Was gibt mir Alpha an? Hätte spontan gesagt, dass es angibt wie groß der Vertrauensbereich ist (siehe Zeichnung). Aber gibt es nun an, dass der Vertrauensbereich 96% beträgt, oder dass der Vorhersagebereich 96% beträgt? Oder garnichts von beidem?




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-23


Hallo,

das ist die sog. Irrtumswahrscheinlichkeit und mit dieser Wahrscheinlichkeit begeht man einen Fehler 1. Art.


Gruß, Diophant



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


Hm, denke so ganz klar ist es mir leider noch nicht.

Also so wie ich es jetzt verstanden habe gibt 1-alpha an wie viel von der t-Verteilung "abgedeckt" wird d.h. so wie im Bild. Dabei bezeichnet man alpha als Irrtumswahrscheinlichkeit (habe irgendwie im HInterkopf, dass man auch Vertrauensniveau dazu sagt, kann das sein?).

Aber wenn alpha z.B. 4% ist, dann spricht man doch vom 96%-igen Vertrauensbereich (96% der Stichprobemittelwerte liegen im berechneten Bereich) bzw. vom 96%-igen Vorhersagebereich (96% der weiteren einzelnen Beobachtungen liegen im berechneten Bereich), oder?




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo nochmal:

- \(\alpha\) ist die Irrtumswahrscheinlichkeit, manchmal nennt man diese Siginifikanzniveau
- \(1-\alpha\) ist das Konfidenzintervall, auch Konfidenz- oder Vertrauensbereich genannt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


D.h. 1-alpha sagt aus, dass der (1-alpha)-Vertrauensbereich (und nicht der (1-alpha)-Vorhersagebereich) gemeint ist?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-23


Hallo,

2020-03-23 13:51 - HDMIii in Beitrag No. 4 schreibt:
D.h. 1-alpha entspricht dem Vertrauensbereich (und nicht dem Vorhersagebereich)?

Ja.

Wobei ich dir beim letzteren Begriff nicht wirklich weiterhelfen kann, das ist ein Begriff aus der Statistik und nochmal etwas komplizierter als der Vertrauensbereich.


Gruß, Diophant



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


Alles, klar dann schon mal vielen Dank für deine Hilfe. Vielleicht meldet sich noch jemand der etwas tiefer in der Materie drin steckt :).

Die Frage nochmal zusammengafasst:
Alpha ist die Irrtumswahrscheinlichkeit.

1. Was sage diese Größe über den Vertrauensbereich und den Vorhersagebereich aus?
Stimmt es, dass bei alpha=4%:
- Vertrauensbereich: 96% der Stichprobemittelwerte liegen im berechneten Bereich
- Vorhersagebereich: 96% der weiteren einzelnen Beobachtungen liegen im berechneten Bereich

2. Stimmt meine obere Zeichung für alpha bei der t-Verteilung?




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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-23


2020-03-23 14:08 - HDMIii in Beitrag No. 6 schreibt:
Alles, klar dann schon mal vielen Dank für deine Hilfe. Vielleicht meldet sich noch jemand der etwas tiefer in der Materie drin steckt :).

Die Frage nochmal zusammengafasst:
Alpha ist die Irrtumswahrscheinlichkeit.

1. Was sage diese Größe über den Vertrauensbereich und den Vorhersagebereich aus?
Stimmt es, dass bei alpha=4%:
- Vertrauensbereich: 96% der Stichprobemittelwerte liegen im berechneten Bereich
- Vorhersagebereich: 96% der weiteren einzelnen Beobachtungen liegen im berechneten Bereich

2. Stimmt meine obere Zeichung für alpha bei der t-Verteilung?



Moin HDMIii,

fangen wir mit dem KI an.

Zunaechst ist ein KI ein *Verfahren*, das von dem Konfidenzniveau $1-\alpha$ abhaengt.  Nehmen wir an, du moechtest den Parameter $\mu$ einer normalverteilten Grundgesamtheit schaetzen und du siehst dich in der Lage, demnaechst eine Stichprobe $z_1,\dots,z_n$ aus dieser Grundgesamtheit ziehen.  Du entschliesst dich dazu, das Verfahren zu nutzen, bei dem dann ein Konfidenzintervall nach deiner Formel \[\bar z\pm t_{n-1,\alpha/2}\cdot s\cdot\sqrt{\dfrac{1}{n}}\] berechnet wird.

Jetzt kommt ein wichtiger Punkt:  Wenn du dieses Verfahren anwendest und deine Annahmen (Normalverteilung, Unabhaengigkeit der Stichprobenwert) nicht allzu ungerechtfertigt sind, dann liefert das Verfahren Grenzen, welche in $(1-\alpha)\cdot100\%$ aller Faelle $\mu$ einschliessen, z.B. fuer $1-\alpha=0.95$ oder 0.99.

Das ist das *Verfahren*.

Ziehst du nun eine Stichprobe mit konkreten Zahlen, so kannst du nach der Formel oben konkrete Grenzen $[\hat\mu_u,\hat\mu_o]$ berechnen.  Von denen *weisst* du allerdings nicht, ob $\mu$ sich darin befindet.  Nur hast du ein Verfahren benutzt, das in 95\% oder 99\% aller Stichproben Grenzen liefert, die $\mu$ umfassen.  Deswegen kannst du auch sehr zuversichtlich sein (engl. confident), dass dein errechnetes Intervall $[\hat\mu_u,\hat\mu_o]$ zu den 95 oder 99% "Treffern" gehoert.

Diese Idee gilt analog fuer PI, nur wird hier nicht $\mu$ sondern die Realisation eines potentiellen weiteren Stichprobenwertes $z_{n+1}$ geschaetzt.

Deine Zeichnung ist okay.

vg Luis



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Danke für deine Antwort.

2020-03-23 14:45 - luis52 in Beitrag No. 7 schreibt:

Deine Zeichnung ist okay.


Um den Bogen zur Zeichung zu spannen. Stimmt es, dass: dadurch, dass ich den Mittelwert und die  Varianz nicht kenne, die eigenlich normalverteilten Werte zu einer t-Verteilung werden.
D.h. der Mittelwert (aus verschiedenen Stichproben) ist t-verteilt und auch der potentielle weitere Stichprobenwert ist t-verteilt?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-23


2020-03-23 15:00 - HDMIii in Beitrag No. 8 schreibt:
Danke für deine Antwort.

2020-03-23 14:45 - luis52 in Beitrag No. 7 schreibt:

Deine Zeichnung ist okay.


Um den Bogen zur Zeichung zu spannen. Stimmt es, dass: dadurch, dass ich den Mittelwert und die  Varianz nicht kenne, die eigenlich normalverteilten Werte zu einer t-Verteilung werden.
D.h. der Mittelwert (aus verschiedenen Stichproben) ist t-verteilt und auch der potentielle weitere Stichprobenwert ist t-verteilt?

Ist die Grundgesamtheit normalverteilt, so ist der Mittelwert immer normalverteilt, egal ob die Varianz bekannt ist oder nicht. Die Unterscheidung Normalverteilung - t-Verteilung erfolgt so:

\[\frac{\bar z-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\mathcal{N}(0,1)\quad \text{und} \quad\frac{\bar z-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim\text{t}(n-1)\,.\]
vg Luis




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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


Hm, warum muss man dann für das Konfidenzintervall eines Normalverteilten Merkmals mit unbekannter Standardabweichung eine t-Verteilung als Stichprobenfunktion verwenden?



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luis52
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2020-03-23 15:43 - HDMIii in Beitrag No. 10 schreibt:
Hm, warum muss man dann für das Konfidenzintervall eines Normalverteilten Merkmals mit unbekannter Standardabweichung eine t-Verteilung als Stichprobenfunktion verwenden?

Waere $\sigma$ bekannt, so wuerde man das (bessere) Konfidenzintervall
\[\bar z\pm z_{\alpha}\cdot\sigma\cdot\sqrt{\dfrac{1}{n}}\] verwenden mit dem entsprechenden Prozentpunkt $ z_{\alpha}$ der Standardnormalverteilung.

vg Luis



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HDMIii
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-23


Achso, also der Mittelwert und die Datenpunkte sind zwar normalverteilt, da man aber die echte Varianz nicht kennt, muss man auf ein "schlechteres (d.h. breiteres) Intervall zurückgreifen das auf der t-Verteilung basiert.

Wäre das richtig?



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luis52
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2020-03-23 16:14 - HDMIii in Beitrag No. 12 schreibt:
Achso, also der Mittelwert und die Datenpunkte sind zwar normalverteilt, da man aber die echte Varianz nicht kennt, muss man auf ein "schlechteres (d.h. breiteres) Intervall zurückgreifen das auf der t-Verteilung basiert.

Wäre das richtig?

Genau so.



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HDMIii
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Alles klar, dann vielen Dank.

Vielleicht noch eine letze Frage: Könntest du mir eventuell ein Buch empfehlen, das solche Sachen näher erleutert und auch auf die Herleitung eingeht? In den meisten Quellen die ich finde wird nur gesagt, dass es so gemacht wird. Super wäre, wenn es nicht nur auf Formelherleitungen basiert, sondern auch auf logischem Verständnis aufbaut :)



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