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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verteilungskonvergenz Brownsche Bewegung für t-> ∞
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Universität/Hochschule J Verteilungskonvergenz Brownsche Bewegung für t-> ∞
Rocky123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-24


Hallo,
ich vermute einmal, dass die 1-dimensionale Standard-Brownsche Bewegung  
( = "Standard-BM\(^1\)" )  \((B_t)_{t \geq 0}\) für \(t \to \infty \) nicht in Verteilung konvergiert. Intuitiv hätte ich gesagt, dass da zuviel oszilliert wird. Ein formaler Beweis fällt mir aber bislang zu schwer.

Ich habe soweit ein paar lose Überlegung dazu , die ich einmal hereinschreibe.

1)
Da für eine Standard-BM\(^1\) gilt, dass \(B_t \) ~ \( \mathcal{N} ( 0 , t ) \) , ist ja für alle \(x \in \mathbb{R}\), \(t>0\) : \(P(B_t < x)  = P(\frac{B_t}{\sqrt{t}} < \frac{x}{\sqrt{t}} ) = \Phi ( \frac{x}{\sqrt{t}}) \) , mit \(\Phi\) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.
Wenn \(t \) jetzt gegen unendlich geht, dann geht \(\frac{x}{\sqrt{t}}\) gegen \(0\) , und es ist ja \( \Phi (0) = 0,5\). Also ist für alle reellen \(x \) der Limes \(\lim_{t \to \infty} P(B_t < x) = 0,5 \).
Ich habe das "Gefühl" , dass das mit der Konvergenz in Verteilung von \(B_t\) im Widerspruch steht... Mir fehlt aber ein Argument dafür.

2)
Alternativ habe ich auch probiert, mit dem Gesetz des iterierten Logarithmus für eine BM\(^1\) etwas zu schaffen. Aber etwas "essentiell" anderes als bei Punkt 1) habe ich damit auch noch nicht zusammengebracht: Das Ganze scheint zu stark zu oszillieren um in Verteilung zu konvergieren.

Vielleicht übersehe ich einen ganz einfachen Endschritt , oder einen ganz anderen Zugang dazu... Wenn wem was einfällt würde ich mich über Hilfestellungen freuen.
Freundliche Grüße, Rocky



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-28


Huhu Rocky123 und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Deine Überlegung unter 1) ist doch bereits einmal sehr nützlich und entspricht der (jedenfalls meiner) Anschauung. Würde $B_t$ i.V. konvergieren, so wäre die Grenzverteilung so etwas wie eine Gleichverteilung auf $\mathbb{R}$; genau das hast Du Dir ja auch überlegt!
Damit hast Du bereits ein Indiz, welches Ergebnis Du erwartest.

Eine einfache Rechnung kann das auch formal beweisen: Betrachte die charakteristischen Funktionen $\phi_t$ und untersuche deren punktweise Konvergenz. Ein eventuell vorhandener Grenzwert müsste in $0$ stetig sein, um charakterische Funktion einer Zufallsvariable (bzw. eines Maßes) zu sein.

lg, AK



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Rocky123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-12


Danke für deine Antwort AnnaKath!



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