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Mathematik » Stochastik und Statistik » Fisher-Informationsmatrix beim wahren zugrundeliegenden Parameter
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Kein bestimmter Bereich Fisher-Informationsmatrix beim wahren zugrundeliegenden Parameter
BieneMaja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-26


Hallo,

angenommen man möchte einen Ausdruck wie

$$l(\theta) - \Sigma$$
analysieren, wobei $l$ die log-Likelihood-Funktion ist, $\theta$ ein unbekannter Vektor von Parametern und $\Sigma$ ist die Fisher-Informationsmatrix beim wahren zugrundeliegenden Parameter.

Kann $\Sigma$ mit dem selben $\theta$ ausgedrückt werden oder muss ein $\theta^*$ als Vektor der wahren zugrundeliegenden Parametern definiert werden?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-26


2020-03-26 10:23 - BieneMaja im Themenstart schreibt:
Hallo,

angenommen man möchte einen Ausdruck wie

$$l(\theta) - \Sigma$$
analysieren, wobei $l$ die log-Likelihood-Funktion ist, $\theta$ ein Vektor von unbekannten Parametern und $\Sigma$ ist die Fisher-Informationsmatrix beim wahren zugrundeliegenden Parameter.

Kann $\Sigma$ mit dem selben $\theta$ ausgedrückt werden oder muss ein $\theta^*$ als Vektor der wahren zugrundeliegenden Parametern definiert werden?

Moin, irgendwas ist hier schief, denn $l(\theta)\in\IR$ und $\Sigma$ soll doch eine Matrix sein ...

Kannst du mal das Modell nennen, was zugrunde liegt?

vg Luis



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BieneMaja
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-26


2020-03-26 13:05 - luis52 in Beitrag No. 1 schreibt:

Moin, irgendwas ist hier schief, denn $l(\theta)\in\IR$ und $\Sigma$ soll doch eine Matrix sein ...

Kannst du mal das Modell nennen, was zugrunde liegt?

vg Luis

Stimmt, da hast du natürlich Recht - das geht so nicht.

Der eigentlich zu analysierende Ausdruck ist länger und beinhaltet die Multiplikation eines Vektors von links und rechts von $\Sigma$, sodass eine reelle Zahl von einer reellen Zahl abgezogen wird. Mir ging es nur darum, dass sowohl der wahre zugrundeliegende Parameter vorliegt, als auch ein unbekannter Vektor von Parametern.

Deshalb ist es eigentlich nebensächlich, aber was ich damit machen möchte ist, zu bestimmen, ob Folgendes gilt:

$$\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \sup_{\lVert \hat{\theta} - \theta \rVert \leq \delta} \left|\frac{\frac{2}{n} (l(\theta) - l(\hat{\theta})) - h(\theta - \hat{\theta})}{h(\theta - \hat{\theta})}\right| = 0,$$
wobei $\hat{\theta}$ der MLE ist und $h(\theta) = \theta^T \Sigma \theta$. Ich betrachte das Ganze im Modell der logistischen Regression bei einer Stichprobenzahl von $n$.

Danke für deinen Kommentar!



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