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Mathematik » Schulmathematik » Befreundete Zahlen
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Kein bestimmter Bereich Befreundete Zahlen
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-26 22:15


"Zwei verschiedene natürliche Zahlen, von denen wechselseitig jeweils eine Zahl gleich der Summe der echten Teiler der anderen Zahl ist, bilden ein Paar befreundeter Zahlen."
Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Befreundete_Zahlen

Ich fand diese unter hundert:
48   TS1: 75 TS2 48
75   TS1: 48 TS2 75

Bis 100 habe ich diese beiden gefunden.  Echte Teiler sind alle Teiler alle Zahl, außer 1 und die Zahl selbst.

Zitat
"Vorzugsweise sind bei einem befreundeten Paar beide Zahlen gerade. Es gibt aber auch solche mit zwei ungeraden Zahlen. Ob es dagegen gemischte Paare gibt, ist dagegen unbekannt. "
 Theo Kempermann, Zahlentheoretische Kostproben s. S. 41

Mein Beispiel ist gemischt..... hab ich alles richtig gemacht? Kempermann zählt z. B. wie Wiki, immer die 1 mit, obwohl sie kein echter Teiler ist. Oder sehe ich das falsch?

Zählt man die 1 nicht mit, haben, mit Ausnahme der QZ, alle ung. Zahlen eine gerade Teilersumme, und die meisten geraden Zahlen eine ungerade TS. Zählt man die 1 mit haben mit Ausnahme der QZ, alle ung. Zahlen eine ungerade Teilersumme und die meisten geraden Zahlen eine gerade TS.
Bis 10 Tsd: (1 und Zahl nicht mitzählen!

48 [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48] 10   TS1: 75 TS2 48
75 [1, 3, 5, 15, 25, 75] 6   TS1: 48 TS2 75
140 [1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140] 12   TS1: 195 TS2 140
195 [1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195] 8   TS1: 140 TS2 195
1050 [1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 25, 30, 35, 42, 50, 70, 75, 105, 150, 175, 210, 350, 525, 1050] 24   TS1: 1925 TS2 1050
1575 [1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 25, 35, 45, 63, 75, 105, 175, 225, 315, 525, 1575] 18   TS1: 1648 TS2 1575
1648 [1, 2, 4, 8, 16, 103, 206, 412, 824, 1648] 10   TS1: 1575 TS2 1648
1925 [1, 5, 7, 11, 25, 35, 55, 77, 175, 275, 385, 1925] 12   TS1: 1050 TS2 1925
2024 [1, 2, 4, 8, 11, 22, 23, 44, 46, 88, 92, 184, 253, 506, 1012, 2024] 16   TS1: 2295 TS2 2024
2295 [1, 3, 5, 9, 15, 17, 27, 45, 51, 85, 135, 153, 255, 459, 765, 2295] 16   TS1: 2024 TS2 2295
5775 [1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 25, 33, 35, 55, 75, 77, 105, 165, 175, 231, 275, 385, 525, 825, 1155, 1925, 5775] 24   TS1: 6128 TS2 5775
6128 [1, 2, 4, 8, 16, 383, 766, 1532, 3064, 6128] 10   TS1: 5775 TS2 6128
8892 [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 18, 19, 26, 36, 38, 39, 52, 57, 76, 78, 114, 117, 156, 171, 228, 234, 247, 342, 468, 494, 684, 741, 988, 1482, 2223, 2964, 4446, 8892] 36   TS1: 16587 TS2 8892
9504 [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 16, 18, 22, 24, 27, 32, 33, 36, 44, 48, 54, 66, 72, 88, 96, 99, 108, 132, 144, 176, 198, 216, 264, 288, 297, 352, 396, 432, 528, 594, 792, 864, 1056, 1188, 1584, 2376, 3168, 4752, 9504] 48   TS1: 20735 TS2 9504

Merkwürdig - bei mir sind das alles gemischte Paare ...

48/75
1575/1648 Die Endungen sind dieselben!



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-26 22:32


Hallo Bekell,

der Begriff aus dem Titel stammt aus der Antike, unter anderen haben sich die Pythagoräer mit dieser Thematik rund um die Teilersummen beschäftigt. Da gehören dann bekanntlich auch noch die Begriffe vollkommene, arme und reiche Zahlen dazu (insbesondere sind von einem befreundeten Zahlenpaar immer eine arm, die andere reich).

Meiner Ansicht nach sollte man, wenn man sich damit auseinandersetzt, das dann auch so tun, wie es ursprünglich gedacht war: die 1 gehört zur Teilersumme, die Zahl selbst nicht.

Aus dem Stegreif meine ich zu wissen, dass dann das Paar (220,284) das kleinste Paar befreundeter Zahlen ist.

Nachtrag:
Und stpolster hat das ja im folgenden Beitrag mit seiner Tabelle bestätigt. Vielen Dank dafür: da lebt bei mir 40 Jahre alter Schulstoff wieder auf...


Gruß, Diophant



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stpolster
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-26 22:33


Unter einem Paar sozialer bzw. befreundeter Zahlen versteht man klassisch zwei natürliche Zahlen a und b, bei welchen die Summe ihrer echten Teiler und der 1 gerade die andere Zahl ergibt.

Erstmals erwähnte Pythagoras die befreundeten Zahlen 220 und 284. Auf die Frage, was ein Freund sei, antwortete er: "Einer, der ein anderes Ich ist, wie 220 und 284."

220 und 284 sind auch die kleinsten befreundeten Zahlen. Vollkommene Zahlen, wie die 6, 28 oder 496, sind zu sich selbst befreundet.

Beispiele sind:
13 Einträge
220        284        Paar
1184        1210        Paar
2620        2924        Paar
5020        5564        Paar
6232        6368        Paar
10744        10856        Paar
12285        14595        Paar
17296        18416        Paar
63020        76084        Paar
66928        66992        Paar
67095        71145        Paar
69615        87633        Paar
79750        88730        Paar

LG Steffen

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Slash
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Aus: Cuxhaven-Sahlenburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-26 22:35


48 [1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24] Summe ist 76
75 [1, 3, 5, 15, 25] Summe ist 49

Du hast wohl immer die 1 vergessen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Bound to be disappointing so why wait?



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-26 22:48


Die Paare, bei denen der Faktor 1 nicht mitgezählt wird, nennt man Quasibefreundete Zahlen. Siehe Wiki-Artikel im im TS verlinkten Lemma.



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27 06:29


Meiner Ansicht nach sollten dann beide von mir zitierten Quellen auf den Begriff des "echten Teilers" verzichten in ihren Texten. Denn dieser Begriff brachte das Kuddelmuddel. Ich weiß nicht, wer überhaupt den Begriff geprägt hat. Auf jeden Fall macht er Sinn, hat hier im Zusammenhang mit befreundeten Zahlen aber nichts zu suchen.

Mir war nur wichtig, das Ganze mal zu programmieren. Die befreundeten Zahlen selber werden ja bis 10^1000 bekannt sein.


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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-27 07:10


Du hast nur "Summe der echten Teiler" falsch verstanden... Denn diese schließt die 1 mit ein (auch wenn es vielleicht nicht zu den echten Teilern gehört) oder genauer: Summe der echten Teiler = Summe der Teiler - die Zahl selbst



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27 07:24


Ja, dann mißverstehe ich "echte Teiler". Wenn man etwas teilt, müssen mindestens 2 Teile rauskommen. Sonst wäre es ja kein Teilen. Da 1 nicht 2 Teile herstellt, "teilt" sie nicht. Die Zahl selber teilt schon, ist aber trivial. Ich habe echte Teiler wohl mit nichttriviale Teiler verwechselt.  

Nimmt man die 1 dazu, wird es schwieriger, weil es sehr wenig gerade Zahlen gibt, die als TS eine ungerade Zahl produzieren. Die unger. Zahl muß auch hier die arme Zahl sein, die dann eine gerade TS produziert ..


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-27 07:46


2020-03-27 06:29 - Bekell in Beitrag No. 5 schreibt:
Mir war nur wichtig, das Ganze mal zu programmieren. Die befreundeten Zahlen selber werden ja bis 10^1000 bekannt sein.

Wie weit sind sie denn wirklich bekannt? Es gibt doch bestimmt Projekte, um sie systematisch zu suchen...



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27 07:52


2020-03-27 07:46 - gonz in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-03-27 06:29 - Bekell in Beitrag No. 5 schreibt:
Mir war nur wichtig, das Ganze mal zu programmieren. Die befreundeten Zahlen selber werden ja bis 10^1000 bekannt sein.

Wie weit sind sie denn wirklich bekannt? Es gibt doch bestimmt Projekte, um sie systematisch zu suchen...

Ich hab die Einsen jetzt zugelassen!
bis 10 Tsd: Er listet auch die vollkommenen Zahlen auf.

28 [1, 2, 4, 7, 14, 28] 6   TS1: 28 TS2 28
220 [1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220] 12   TS1: 284 TS2 220
284 [1, 2, 4, 71, 142, 284] 6   TS1: 220 TS2 284
496 [1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496] 10   TS1: 496 TS2 496
1184 [1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, 592, 1184] 12   TS1: 1210 TS2 1184
1210 [1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605, 1210] 12   TS1: 1184 TS2 1210
2620 [1, 2, 4, 5, 10, 20, 131, 262, 524, 655, 1310, 2620] 12   TS1: 2924 TS2 2620
2924 [1, 2, 4, 17, 34, 43, 68, 86, 172, 731, 1462, 2924] 12   TS1: 2620 TS2 2924
5020 [1, 2, 4, 5, 10, 20, 251, 502, 1004, 1255, 2510, 5020] 12   TS1: 5564 TS2 5020
5564 [1, 2, 4, 13, 26, 52, 107, 214, 428, 1391, 2782, 5564] 12   TS1: 5020 TS2 5564
6232 [1, 2, 4, 8, 19, 38, 41, 76, 82, 152, 164, 328, 779, 1558, 3116, 6232] 16   TS1: 6368 TS2 6232
6368 [1, 2, 4, 8, 16, 32, 199, 398, 796, 1592, 3184, 6368] 12   TS1: 6232 TS2 6368
8128 [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128] 14   TS1: 8128 TS2 8128


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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-03-27 07:59


Ah klar - die Perfekten Zahlen sind auch dabei.
Schön gemacht!



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-27 08:02


Es gibt verschiedene Definitionen, was ein "echter" Teiler ist.

Ich kenne die Definition, dass $t$ ein echter Teiler von $n$ ist, wenn $t|n$ und $t<n$ gilt. Die $1$ ist nach dieser Definition (für alle $n>1$) ein echter Teiler und wird im Zusammenhang mit Teilersummen auch so gebraucht.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-03-27 08:22


Neben den klassischen Konstruktionsmethoden gibt es auch den Satz von Borho (Walter Borho, Universität Wuppertal):
 
Seien A und B befreundete Zahlen mit <math>A = a \cdot u</math> und <math>B = a \cdot s</math>, wobei s eine Primzahl ist, und sei weiter <math>p = u+s+1</math> eine Primzahl und p kein Teiler von a.

Dann gilt:

Sind für eine feste natürliche Zahl n: <math>q_1 = (u+1)p^n - 1 </math>
prim und <math>        q_2 = (u+1)(s+1)p^n - 1 </math> prim, dann sind <math>        A_1 = A p^n q_1</math> und <math>B_1 = a p^n q_2
</math> befreundete Zahlen.
 
Beispiel
<math>A = 220 = 2^2 \cdot 55</math> und <math>B = 284 = 2^2 \cdot 71</math> sind befreundet mit <math>a = 4, u = 55</math> und <math>s = 71</math>, wobei s prim ist. <math>p = 127</math> ist prim und nicht Teiler von <math>a = 4</math>.
 
<math>n = 1: q_1 = 56 \cdot 127 - 1 = 7111 = 13 \cdot 547</math> ist nicht prim. Für <math>n = 1</math> erhält man keine neuen befreundeten Zahlen.

<math>n = 2: q_1 = 903223</math> und <math>q_2 = 65032127</math> sind beide prim. Daraus folgt:
<math>A_1 = 220 \cdot 127^2 \cdot 903223</math> und <math>B_1 = 4 \cdot 127^2 \cdot 65032127</math> sind befreundete Zahlen.

Mit Hilfe dieses Satzes fand Borho weitere 10455 befreundete Zahlen.

LG Steffen



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27 08:32


Von 10 tausend bis 100 tausend. Damit lassen wir es dabei bewenden.


10744 [1, 2, 4, 8, 17, 34, 68, 79, 136, 158, 316, 632, 1343, 2686, 5372, 10744] 16   TS1: 10856 TS2 10744
10856 [1, 2, 4, 8, 23, 46, 59, 92, 118, 184, 236, 472, 1357, 2714, 5428, 10856] 16   TS1: 10744 TS2 10856
12285 [1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 21, 27, 35, 39, 45, 63, 65, 91, 105, 117, 135, 189, 195, 273, 315, 351, 455, 585, 819, 945, 1365, 1755, 2457, 4095, 12285] 32   TS1: 14595 TS2 12285
14595 [1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105, 139, 417, 695, 973, 2085, 2919, 4865, 14595] 16   TS1: 12285 TS2 14595
17296 [1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 47, 92, 94, 184, 188, 368, 376, 752, 1081, 2162, 4324, 8648, 17296] 20   TS1: 18416 TS2 17296
18416 [1, 2, 4, 8, 16, 1151, 2302, 4604, 9208, 18416] 10   TS1: 17296 TS2 18416
63020 [1, 2, 4, 5, 10, 20, 23, 46, 92, 115, 137, 230, 274, 460, 548, 685, 1370, 2740, 3151, 6302, 12604, 15755, 31510, 63020] 24   TS1: 76084 TS2 63020
66928 [1, 2, 4, 8, 16, 47, 89, 94, 178, 188, 356, 376, 712, 752, 1424, 4183, 8366, 16732, 33464, 66928] 20   TS1: 66992 TS2 66928
66992 [1, 2, 4, 8, 16, 53, 79, 106, 158, 212, 316, 424, 632, 848, 1264, 4187, 8374, 16748, 33496, 66992] 20   TS1: 66928 TS2 66992
67095 [1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 27, 35, 45, 63, 71, 105, 135, 189, 213, 315, 355, 497, 639, 945, 1065, 1491, 1917, 2485, 3195, 4473, 7455, 9585, 13419, 22365, 67095] 32   TS1: 71145 TS2 67095
69615 [1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 21, 35, 39, 45, 51, 63, 65, 85, 91, 105, 117, 119, 153, 195, 221, 255, 273, 315, 357, 455, 585, 595, 663, 765, 819, 1071, 1105, 1365, 1547, 1785, 1989, 3315, 4095, 4641, 5355, 7735, 9945, 13923, 23205, 69615] 48   TS1: 87633 TS2 69615
71145 [1, 3, 5, 9, 15, 17, 27, 31, 45, 51, 85, 93, 135, 153, 155, 255, 279, 459, 465, 527, 765, 837, 1395, 1581, 2295, 2635, 4185, 4743, 7905, 14229, 23715, 71145] 32   TS1: 67095 TS2 71145
76084 [1, 2, 4, 23, 46, 92, 827, 1654, 3308, 19021, 38042, 76084] 12   TS1: 63020 TS2 76084
79750 [1, 2, 5, 10, 11, 22, 25, 29, 50, 55, 58, 110, 125, 145, 250, 275, 290, 319, 550, 638, 725, 1375, 1450, 1595, 2750, 3190, 3625, 7250, 7975, 15950, 39875, 79750] 32   TS1: 88730 TS2 79750
87633 [1, 3, 7, 9, 13, 21, 39, 63, 91, 107, 117, 273, 321, 749, 819, 963, 1391, 2247, 4173, 6741, 9737, 12519, 29211, 87633] 24   TS1: 69615 TS2 87633
88730 [1, 2, 5, 10, 19, 38, 95, 190, 467, 934, 2335, 4670, 8873, 17746, 44365, 88730] 16   TS1: 79750 TS2 88730

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27 08:44


Es wäre auch interessant zu untersuchen,

a: der größte Unterschied zwischen der Teileranzahl der beiden befreundeten Zahlen
und
b: Ob es eine relative Entfernungsgrenze der beiden Zahlen in % von 0 gibt, worüber Hinaus eine befreundete Zahl nicht mehr gegeben sein kann.


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Bernhard
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-03-27 12:31


Hallo Bekell!

Wenn Du das programmiert hast, würde mich mal interessieren, mit welcher Programmiersprache Du das gemacht hast und dann natürlich Dein Code.
Wäre schön, wenn Du den uns mal posten würdest!

Viele Grüße, Bernhard


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-27 14:00

Python
  1. from sympy import *
  2. >>> from sympy import primepi
  3. >>> from math import sqrt
  4.  
  5. Zahl=0
  6. Zahl2=0
  7. b=[]
  8. nr=0
  9. TS=0
  10. ET=0 #Gesamtzahl echter Teiler.
  11. #EGT = echte große Teiler.
  12.  
  13. for Zahl in range(10,100000,1):
  14.  
  15. i=1
  16. b=[]
  17. TS=0
  18. while i <= Zahl:
  19. if Zahl%i==0:
  20. Teiler=Zahl//i
  21. TS=TS+Teiler
  22. b.append(Teiler)
  23. i=i+1
  24.  
  25. else:
  26. i=i+1
  27.  
  28. b.reverse()
  29. nr=nr+1
  30. if isprime(Zahl)== True or Zahl%sqrt(Zahl)==0: #wenn due Zahl prim oder qzadrat, nichts dazuzählen
  31. ET=ET+0
  32. else:
  33. ET=ET+(len(b)-2)
  34. j=1
  35. c=[]
  36. TS2=0
  37. Zahl2=(TS-(Zahl))
  38. while j <= Zahl2:
  39. if Zahl2%j==0:
  40. Teiler2=Zahl2//j
  41. TS2=TS2+Teiler2
  42. c.append(Teiler2)
  43. j=j+1
  44.  
  45. else:
  46. j=j+1
  47.  
  48.  
  49. # print("Nr:",nr," ",Zahl, b, len(b), "TS:",TS-(1+Zahl),)
  50. if Zahl == TS2-(Zahl2):
  51. print( Zahl,b, len(b)," TS1:",TS-(Zahl), "TS2", TS2-(Zahl2))
ist ein Bisschen chaotisch, die Schleife selbst habe ich von Wiki.... es hat ungefähr ne halbe Stunde gedauert .. Python ist schon spitze...



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-03-27 15:38


Hallo wenn du schon ein Programm hast, kannst du auch längere Ketten suchen, das hat schon meinen Kindern im Anfang der Computerei Spass gemacht
bis dann. lul

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]


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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-03-28 08:54


Quick and Dirty Programm zum Bestimmen aller Zyklen kleiner 1.000.000.(Rechenzeit auf meinem Laptop etwa 25s)

[[6], [28], [496], [8128], [220, 284], [1184, 1210], [2620, 2924], [5020, 5564], [6232, 6368], [10744, 10856], [12285, 14595], [17296, 18416], [63020, 76084], [66928, 66992], [67095, 71145], [69615, 87633], [79750, 88730], [100485, 124155], [122265, 139815], [122368, 123152], [141664, 153176], [142310, 168730], [171856, 176336], [176272, 180848], [185368, 203432], [196724, 202444], [280540, 365084], [308620, 389924], [319550, 430402], [356408, 399592], [437456, 455344], [469028, 486178], [503056, 514736], [522405, 525915], [600392, 669688], [609928, 686072], [624184, 691256], [635624, 712216], [643336, 652664], [667964, 783556], [726104, 796696], [802725, 863835], [879712, 901424], [898216, 980984], [12496, 14288, 15472, 14536, 14264], [14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716]]
Python
def primes(N):
    L = [1 for i in range(N+1)]
    L[0] = 0
    L[1] = 0
    p = 2
    while p*p <= N:
        for t in range(2*p,N+1,p):
            L[t] = 0
            p += 1
            while p*p <= N and L[p] == 0:
                p += 1
    return [p for p in range(N+1) if L[p]]
 
 
def div_sum(N,PRIMES,D):
    if N in D:
        return D[N]
    for p in PRIMES:
        if p*p > N:
            D[N] = N+1
            return D[N]
        if N % p == 0:
            e = 0
            n = N
            while n % p == 0:
                n //= p
                e += 1
            D[N] = (p**(e+1)-1)//(p-1) * div_sum(n,PRIMES,D)
            return D[N]
    return None
 
def div_sums(NMAX):
    Pr = primes(NMAX)
    Div_Sum = {0:0, 1:1}
    for n in range(NMAX):
        div_sum(n,Pr,Div_Sum)
    return Div_Sum
 
def cycles(NMAX):
    Div_Sum = div_sums(NMAX)
    N = [[n] for n in range(NMAX)]
    C = []
    while N: 
        _N = []
        for c in N:
            d = Div_Sum[c[-1]] - c[-1]
            if d > 1 and d < NMAX:
                if d == c[0] and d==min(c):
                    C.append(c)
                elif d not in c:
                    _N.append(c+[d])
        N = _N
    return C
 



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-03-28 14:05


Gibt es keine Zyklen mit 3 Zahlen 🤔



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-03-28 17:10


Zumindest keine mit kleinen Zahlen.

Bis 10 Millionen gibt es:
4 1-Zykel (Vollkommene Zahlen)
100 2-Zykel (Befreundete Zahlen)
5 4-Zykel
1 5-Zykel
1 28-Zykel

[[6], [28], [496], [8128], [220, 284], [1184, 1210], [2620, 2924], [5020, 5564], [6232, 6368], [10744, 10856], [12285, 14595], [17296, 18416], [63020, 76084], [66928, 66992], [67095, 71145], [69615, 87633], [79750, 88730], [100485, 124155], [122265, 139815], [122368, 123152], [141664, 153176], [142310, 168730], [171856, 176336], [176272, 180848], [185368, 203432], [196724, 202444], [280540, 365084], [308620, 389924], [319550, 430402], [356408, 399592], [437456, 455344], [469028, 486178], [503056, 514736], [522405, 525915], [600392, 669688], [609928, 686072], [624184, 691256], [635624, 712216], [643336, 652664], [667964, 783556], [726104, 796696], [802725, 863835], [879712, 901424], [898216, 980984], [947835, 1125765], [998104, 1043096], [1077890, 1099390], [1154450, 1189150], [1156870, 1292570], [1175265, 1438983], [1185376, 1286744], [1280565, 1340235], [1328470, 1483850], [1358595, 1486845], [1392368, 1464592], [1466150, 1747930], [1468324, 1749212], [1511930, 1598470], [1669910, 2062570], [1798875, 1870245], [2082464, 2090656], [2236570, 2429030], [2652728, 2941672], [2723792, 2874064], [2728726, 3077354], [2739704, 2928136], [2802416, 2947216], [2803580, 3716164], [3276856, 3721544], [3606850, 3892670], [3786904, 4300136], [3805264, 4006736], [4238984, 4314616], [4246130, 4488910], [4259750, 4445050], [4482765, 5120595], [4532710, 6135962], [4604776, 5162744], [5123090, 5504110], [5147032, 5843048], [5232010, 5799542], [5357625, 5684679], [5385310, 5812130], [5459176, 5495264], [5726072, 6369928], [5730615, 6088905], [5864660, 7489324], [6329416, 6371384], [6377175, 6680025], [6955216, 7418864], [6993610, 7158710], [7275532, 7471508], [7288930, 8221598], [7489112, 7674088], [7577350, 8493050], [7677248, 7684672], [7800544, 7916696], [7850512, 8052488], [8262136, 8369864], [8619765, 9627915], [9071685, 9498555], [9199496, 9592504], [9339704, 9892936], [9363584, 9437056], [1264460, 1547860, 1727636, 1305184], [2115324, 3317740, 3649556, 2797612], [2784580, 3265940, 3707572, 3370604], [4938136, 5753864, 5504056, 5423384], [7169104, 7538660, 8292568, 7520432], [12496, 14288, 15472, 14536, 14264], [14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716]]


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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-28 17:26


Ist es nicht so: Je länger ein Zyklus, desto wahrscheinlicher, daß es ihn gibt.


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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2020-03-28 23:19


Ob alle Zahlen in einem Zyklus enden... #collatz xD



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Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29 07:20


2020-03-28 23:19 - MartinN in Beitrag No. 22 schreibt:
Ob alle Zahlen in einem Zyklus enden... #collatz xD

Glaub ich nicht, weil ja je zwei Zahlen dieselbe TS haben (TS 15 bei 16 und 33, TS 13 bei 27 und 35) und es Zahlen gibt, die nicht als TS auftauchen.


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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-03-29 09:44


2020-03-28 23:19 - MartinN in Beitrag No. 22 schreibt:
Ob alle Zahlen in einem Zyklus enden... #collatz xD
Man weiß es noch nicht. Es handelt sich hier um das Teilersummenproblem.

Ist a2 die Teilersumme von a1, a3 die von a2, …, und a1 die von ar, so bildeten diese r Zahlen eine r-gliedrige Kette von sozialen Zahlen.
Ist die Länge r=2 liegen befreundete Zahlen vor, für r=1 ist die Zahl vollkommen.

Interessant ist nun, die Folge dieser Teilersummen zu betrachten. Für n = 30 ergibt sich
42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 1
d.h. die Folge endet bei 1.

Bei Untersuchung der ersten natürlichen Zahlen zeigt sich nun, dass
 
1. die Folge nach Erreichen einer Primzahl anschließend bei 1 endet
2. die Folge zyklisch wird (vollkommene, befreundete oder gesellige Zahlen oder in der Teilersumme treten solche Zahlen auf)
3. das Verhalten der Folge noch nicht bekannt ist, evtl. wächst die Folge über alle Grenzen, sie divergiert
 
Zu vermuten ist, dass der 3.Fall, stets in den ersten oder zweiten einmündet. Da es wesentlich mehr defiziente als abundante Zahlen gibt, ist eine divergente Teilersummenfolge unwahrscheinlich.
Allerdings ist diese Vermutung, die Catalan-Dickson-Vermutung, heute noch nicht bewiesen. Derartige Folgen, deren Verhalten noch nicht bekannt ist, werden Offenendketten genannt.

5 Startzahlen unterhalb 1000
276, 552, 564, 660, 966
werden die "Lehmer-Five" genannt. Die ursprüngliche 6.Zahl der "Lehmer-Six" n = 840 wurde mittlerweile gelöst (endet bei 1).

Das ist ein sehr interessantes Thema. Allerdings ist die Untersuchung mittels Computer sehr anspruchsvoll, da mitunter sehr große Zahlen faktorisiert werden müssen.
Auch hier ist es wohl wie beim Collatz-Problem. Die Zeit ist noch nicht reif zur Lösung dieses Problems.

Unter mathematikalpha.de/teilersummenfolge habe ich ein kleines Programm, dass sich zumindest für kleinere Zahlen an diesen Folgen versucht. In meinem "Mathe alpha" nutzt das Teilprogramm effektivere Faktorisierungsverfahren. Da geht es etwas schneller. Die Startzahl 840 endet nach 232 Gliedern ohne Ergebnis. Da müssen wohl Profis ran.
 
LG Steffen

Nachtrag: "Catalansche Vermutung" gegen die richtige "Catalan-Dickson-Vermutung" geändert. Danke an weird für den Hinweis.



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pzktupel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-03-29 10:20


840 hier:
factordb.com/sequences.php?se=1&aq=840&action=all&fr=0&to=100


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Pech in der Liebe , Glück im Verlieren !!!



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2020-03-29 10:21


2020-03-29 09:44 - stpolster in Beitrag No. 24 schreibt:
Zu vermuten ist, dass der 3.Fall, stets in den ersten oder zweiten einmündet. Da es wesentlich mehr defiziente als abundante Zahlen gibt, ist eine divergente Teilersummenfolge unwahrscheinlich.
Allerdings ist diese Vermutung, die Catalansche Vermutung, heute noch nicht bewiesen.

Mal abgesehen davon, dass dein Beitrag hier ein sehr interessanter und nützlicher ist, indem er so etwas wie "Ordnung" in die Sache reinbringt, ist die Bezeichnung "Catalansche Vermutung" sehr irreführend. Darunter versteht man etwas ganz anderes, wie du sicher auch selber weißt. Diese Vermutung ist genauer nach Catalan und Dickson benannt (s. hier).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.24 begonnen.]



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2020-03-29 10:31


2020-03-29 10:21 - weird in Beitrag No. 26 schreibt:
Mal abgesehen davon, das dein Beitrag hier ein sehr interessanter und nützlicher ist, indem er so etwas wie "Ordnung" in die Sache reinbringt, ist die Bezeichnung "Catalansche Vermutung" sehr irreführend. Darunter versteht man etwas ganz anderes, wie du sicher auch selber weißt. Diese Vermutung ist genauer nach Catalan und Dickson benannt (s. hier).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.24 begonnen.]
Du hast recht. Catalan hat sehr viel zur Zahlentheorie beigetragen. Seine wichtige Vermutung ist die von dir genannnte.

LG Steffen



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2020-03-29 12:31


2020-03-28 23:19 - MartinN in Beitrag No. 22 schreibt:
Ob alle Zahlen in einem Zyklus enden... #collatz xD

Die Frage ist so falsch gestellt, denn wie man nach einigen Versuchen sofort sieht, enden mit $s(n):=\sigma(n)-n$ für ein $n\in \mathbb N^*$ die "meisten" Folgen
\[n\rightarrow s(n)\rightarrow s^2(n)\rightarrow …\] in
\[…\rightarrow p\rightarrow 1\rightarrow 0\] für irgendeine Primzahl $p$. Ich würde daher eher vermuten, dass die Dichte der Zahlen, welche in einem Zyklus enden, asymptotisch 0 beträgt.



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-03-29 17:08


Mit s(0) = 0 hat man da auch einen Zyklus.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, eingetragen 2020-03-29 18:29


2020-03-29 17:08 - MartinN in Beitrag No. 29 schreibt:
Mit s(0) = 0 hat man da auch einen Zyklus.

Ja, aber erstens wäre das dann eine Definition, die zweitens mit Teilersummen absolut nichts mehr zu tun hat. Denn 0 hat ja bekanntlich jedes $t\in\mathbb N$ als Teiler.



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2020-03-29 18:44


Das ist jetzt definitionssache xD
Man könnte auch sagen, dass ein Teiler von n betragsmäßig immer kleiner oder gleich n ist? Oder beeinträchtigt dies außer für n = 0 noch irgendwelche Teiler?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, eingetragen 2020-03-29 19:26


2020-03-29 18:44 - MartinN in Beitrag No. 31 schreibt:
Das ist jetzt definitionssache xD
Man könnte auch sagen, dass ein Teiler von n betragsmäßig immer kleiner oder gleich n ist? Oder beeinträchtigt dies außer für n = 0 noch irgendwelche Teiler?

Ich kann jetzt dazu auch nur sagen, dass die Teilersummenfunktion $\sigma(n)$ üblicherweise nur für positive ganze Zahlen $n$ definiert ist (s. hier).

Darüber hinaus erscheint es mir aus Gründen der Systematik eigentlich schon sinnvoll, den Fall, dass die Inhaltsfolge mit 0 endet, als eigenen Fall zu behandeln und nicht mit den vergleichsweise weit selteneren Fall, dass die Folge in einen anderen Zyklus hineinläuft, "in einen Topf zu werfen".



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