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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Glattes Schema über regulärem Schema ist regulär
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Kein bestimmter Bereich Glattes Schema über regulärem Schema ist regulär
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-27


Hallo,

es geht um folgendes (Standard-)Resultat: Sei $f: X\to S$ ein glatter Morphismus von Schemata. Ist $S$ ein reguläres Schema, dann ist $X$ auch regulär.

Das ist eine Übungsaufgabe von Boschs "Algebraic Geometry" in Kap.8.5, wo eine Reihe von Charakterisierungen glatter Morphismen zu finden ist. Leider kann ich sie nicht auf die akutuelle Aufgabe anwenden, vielleicht könnte mir jemand ein paar Hinweis geben?



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29


Hier ist ein Ansatz: Jeder glatte Morphismus $f: X\to S$ faktorisiert als $X\to \mathbb{A}^n_S\to S$, wo der erstere étale ist ($n$ ist die relative Dimension von $f$; Der zweitere ist der Strukturmorphismus, der automarisch glatt ist). Weil mit $R$ der Polynomring $R[t]$ regulär ist, können wir annehmen, dass $f: X\to \mathbb{A}^n_S$ étale und der $n$-affine Raum $\mathbb{A}^n_S$ regulär ist. Mit "étale=flach+unverzweigt" - nutze eine Dimensionsformel bei flachem Morphismus über Fasern sowie das Kriterium für unverzweigte Morphismen anhand maximalen Idealen - soll die Behauptung folgen.



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