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Mathematik » Stochastik und Statistik » Sind zwei Würfel fair? Wie wahrscheinlich ist ein Stichprobenergebnis?
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Kein bestimmter Bereich J Sind zwei Würfel fair? Wie wahrscheinlich ist ein Stichprobenergebnis?
Yor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-28


Gegeben zwei Würfel von 1-6. Diese werden (zusammen) $N$ mal gewürfelt.
Eine Tabelle für die Anzahl jeder Summe von 2-12 wird angelegt.
$n_i$ ist die Anzahl des Auftretens der Summe $i$. ($\sum_{i=2}^{12} n_i = N$)
 
Die Würfel gelten als fair falls die Wahrscheinlichkeit für die Summe $i\le7$ gleich $\frac{i-1}{36}$ ist und für $i\ge7$ gleich $\frac{14-i-1}{36}$. Also jeweils $\frac{1}{6}$ für jede Zahl.

Gegeben ist nun eine solche Tabelle mit $N$ Einträgen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind dies faire Würfel?
Oder wie wahrscheinlich ist es, dass ein fairer Würfel solch eine Verteilung produziert?

Wie rechnet man soetwas? Hat das ein Namen?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-28


Hallo Yor,

verstehe ich dich richtig: die einzelnen Würfel interessieren dich nicht, nur das Würfelpaar zusammengenommen soll fair sein oder eben auch nicht?

Das könnte man anhand einer Stichprobe mit einem Kolmogorow-Smirnow-Test untersuchen.


Gruß, Diophant



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-28


2020-03-28 00:00 - Yor im Themenstart schreibt:
 

Wie rechnet man soetwas? Hat das ein Namen?

Moin, wie *man* so etwas rechnet, kann ich nicht sagen. *Eine* Moeglichkeit besteht darin, den sog. Chi-Quadrat-Anpassungstest zu verwenden.

vg Luis



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Yor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-28


Danke für die Antworten.

2020-03-28 10:51 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
verstehe ich dich richtig: die einzelnen Würfel interessieren dich nicht, nur das Würfelpaar zusammengenommen soll fair sein oder eben auch nicht?
Ja, nur das Würfelpaar. Alternativ könnte es auch ein Black-Box mit roten Knopf sein. Immer wenn man drauf drückt spuckt es eine Zahl aus.

Ich habe mich mal an den Kolmogorow-Smirnow-Test versucht. Der Chi-Quadrat-Anpassungstest soll laut wiki nicht so gut für kleine Stichproben sein.

Hier ein Beispiel:
(copy paste Tabelle von excel/open calc)

Zahl	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12			
Stichprobe	0	0	8	1	3	16	5	2	3	1	0		Summe	39
Wkt	0,0277777778	0,0555555556	0,0833333333	0,1111111111	0,1388888889	0,1666666667	0,1388888889	0,1111111111	0,0833333333	0,0555555556	0,0277777778			
mal Anzahl	1,0833333333	2,1666666667	3,25	4,3333333333	5,4166666667	6,5	5,4166666667	4,3333333333	3,25	2,1666666667	1,0833333333			
S:h_i	0	0	0,2051282051	0,0256410256	0,0769230769	0,4102564103	0,1282051282	0,0512820513	0,0769230769	0,0256410256	0			
S(x_i)	0	0	0,2051282051	0,2307692308	0,3076923077	0,7179487179	0,8461538462	0,8974358974	0,9743589744	1	1			
F:h_i = Wkt	0,0277777778	0,0555555556	0,0833333333	0,1111111111	0,1388888889	0,1666666667	0,1388888889	0,1111111111	0,0833333333	0,0555555556	0,0277777778			
F(x_i)	0,0277777778	0,0833333333	0,1666666667	0,2777777778	0,4166666667	0,5833333333	0,7222222222	0,8333333333	0,9166666667	0,9722222222	1			
 
S(x_i-1) – F(x_i)	-0,0277777778	-0,0833333333	-0,1666666667	-0,0726495726	-0,1858974359	-0,2756410256	-0,0042735043	0,0128205128	-0,0192307692	0,0021367521	0			
S(x_i) – F(x_i)	-0,0277777778	-0,0833333333	0,0384615385	-0,047008547	-0,108974359	0,1346153846	0,1239316239	0,0641025641	0,0576923077	0,0277777778	0			
 
Abs S(x_i-1) – F(x_i)	0,0277777778	0,0833333333	0,1666666667	0,0726495726	0,1858974359	0,2756410256	0,0042735043	0,0128205128	0,0192307692	0,0021367521	0		max	0,2756410256
Abs S(x_i) – F(x_i)	0,0277777778	0,0833333333	0,0384615385	0,047008547	0,108974359	0,1346153846	0,1239316239	0,0641025641	0,0576923077	0,0277777778	0		max	0,1346153846
													total max	0,2756410256
 
 
Signifikanzniveau in %	20	10	5	2	1	0,5	0,1							
	1,0729830131	1,2238734153	1,3581015157	1,5174271294	1,6276236307	1,7308183826	1,9494746035							
durch sqrt(Anzahl)	0,171814789	0,1959765905	0,2174702884	0,2429828048	0,2606283671	0,2771527522	0,3121657692		(d_alpha)				
 
Passt das so?

Is es richtig, dass ich zum approximieren des kritisches Wertes $d_{\alpha}$ dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung auch die Formel $\frac{\sqrt{-0.5\ln{ \frac{\alpha}{2}}}}{\sqrt{n}}$ verwendet habe?


Mein maximaler Wert ist 0,2756 der zwischen den kritischen Werten des Signifikanzniveau von $\alpha=0.01$ und $\alpha=0.005$ liegt.
Was sagt mir das jetzt?
Soweit ich wiki richtig verstanden habe ist es nicht die Wahrscheinlichkeit, dass es faire Würfel sind (in meinem Fall zu 99% faire Würfel), sondern etwas anderes.

Versuch 1: Annahme Hypothese: die Würfel sind fair mit s$\alpha=0.005$. -> Die Versuchsreihe hat einen höheren kritischen Wert als erlaubt -> Die Nullhypothese wird abgelehnt -> die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ablehnung falsch ist (da NH wahr), ist kleiner als 0,5%

Das klingt irgendwie komisch. Da passt etwas nicht.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-03-28 15:36 - Yor in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich habe mich mal an den Kolmogorow-Smirnow-Test versucht. Der Chi-Quadrat-Anpassungstest soll laut wiki nicht so gut für kleine Stichproben sein.

Hier ein Beispiel:

...(copy paste Tabelle von excel/open calc)...

Is es richtig, dass ich zum approximieren des kritisches Wertes $d_{\alpha}$ dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung auch die Formel $\frac{\sqrt{-0.5\ln{ \frac{\alpha}{2}}}}{\sqrt{n}}$ verwendet habe?

Nein, denn diese Näherung sollte laut Wikipedia ja erst ab n=36 vorgenommen werden. Für \(n=11\) (also deinen Fall) liefert die am Ende der Wikipediaseite verlinkte Tabelle einen wesentlich höheren Wert von \(d_{\alpha}=0.391\). Das ganze jedoch mal unter Vorbehalt. Siehe dazu den Beitrag #5 von luis52.

2020-03-28 15:36 - Yor in Beitrag No. 3 schreibt:
Versuch 1: Annahme Hypothese: die Würfel sind fair mit s$\alpha=0.005$. -> Die Versuchsreihe hat einen höheren kritischen Wert als erlaubt -> Die Nullhypothese wird abgelehnt -> die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ablehnung falsch ist (da NH wahr), ist kleiner als 0,5%

Das klingt irgendwie komisch. Da passt etwas nicht.

War es schon der falsche Wert oder ist dir die Vorgehensweise bzw. die zugrundeliegende Problemstellung "Hypothesentest" unklar?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-03-28


2020-03-28 15:36 - Yor in Beitrag No. 3 schreibt:
Danke für die Antworten.

2020-03-28 10:51 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
verstehe ich dich richtig: die einzelnen Würfel interessieren dich nicht, nur das Würfelpaar zusammengenommen soll fair sein oder eben auch nicht?
Ja, nur das Würfelpaar. Alternativ könnte es auch ein Black-Box mit roten Knopf sein. Immer wenn man drauf drückt spuckt es eine Zahl aus.

Ich habe mich mal an den Kolmogorow-Smirnow-Test versucht. Der Chi-Quadrat-Anpassungstest soll laut wiki nicht so gut für kleine Stichproben sein.
 
...


Das klingt irgendwie komisch. Da passt etwas nicht.


In der Wurzel diseses Threads hast du nicht erwaehnt, dass $N$ so klein. Aber der SW-Test ist ebenfalls ungeeignet, da er eine *stetige* Nullverteilung unterstellt. Somit kannst du auch $\frac{\sqrt{-0.5\ln{ \frac{\alpha}{2}}}}{\sqrt{n}}$ mit $n=39>35$ (@Diophant: Nicht 11) nicht anwenden.

In der Tat, so ohne Weiteres ist der Chi-Quadrat-Anpassungstest nicht anwendbar, da die Approximation an die Chi-Quadratverteilung hinreichend grosse Stichprobenumfaenge voraussetzt. Aber man kann simulieren, z.B. mit R:
R
R> h <- c(0, 0, 8, 1, 3, 16, 5, 2, 3, 1, 0)
R> p <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1) / 36
R> chisq.test(a, p, B=100000, simulate.p.value=TRUE)
 
        Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 1e+05
        replicates)
 
data:  h and p
X-squared = 36.667, df = NA, p-value = 0.1946

Der geschaetzte p-Wert ist nicht hinreichend klein, um an der Fairness eines Wuerfels zu zweifeln.

vg Luis



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-28


@luis52:
2020-03-28 16:51 - luis52 in Beitrag No. 5 schreibt:
@Diophant: Nicht 11

danke für den Hinweis. Ich kann es jedoch noch nicht so ganz nachvollziehen: die Stichprobendaten müssten doch hier die relativen Häufigkeiten sein, damit man sinnvoll mit der vermuteten Verteilung vergleichen kann?


Gruß, Diophant



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Yor
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-28


Als ich meinen Post gesendet hatte waren wieder 2 neue da, daher habe ich erst einmal wieder gelöscht.

Ich dachte $n$ ist gleich $39$ aber $n=11$ macht auch Sinn.
Werde auch noch einmal überlegen/suchen.

Die Frage war eigentlich bzgl der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung von 2 Würfeln. Der Normalverteilung zwar ähnlich aber nicht gleich dieser.
hmm...die Differenz zweier Verteilungen, wobei die angenommene Wahrscheinlichkeitsverteilung der richtigen entspricht sollte wieder Normalverteilt sein.

Mir ist noch unklar wie der Hypothesentest bei dem Vergleich einer Wahrscheinlickeitsverteilung mit einer angenommenen Verteilung funktioniert. Die Beispiele von wiki konnte ich noch nicht auf dieses überführen.

Falls $n=11$:
Das $d_{\alpha} = 0.391$ ist für $\alpha = 0.05$. Für $\alpha = 0.1$ ist es $0.352$ und für $0.99$ ist es $0.468$.
Mein maximalwert ist  0.2756. Dh. die Nullhypothese (Würfel fair) wird nicht abgelehnt. Kann man daraus noch mehr Informationen ziehen?

2020-03-28 16:51 - luis52 in Beitrag No. 5 schreibt:
 Aber der SW-Test ist ebenfalls ungeeignet, da er eine *stetige* Nullverteilung unterstellt. Somit kannst du auch $\frac{\sqrt{-0.5\ln{ \frac{\alpha}{2}}}}{\sqrt{n}}$ mit $n=39>35$ (@Diophant: Nicht 11) nicht anwenden.

laut wiki:
"Der Kolmogorow-Smirnow-Test ist als nichtparametrischer Test sehr stabil und unanfällig. Ursprünglich wurde der Test für stetig verteilte metrische Merkmale entwickelt; er kann aber auch für diskrete und sogar rangskalierte Merkmale verwendet werden"

2020-03-28 16:51 - luis52 in Beitrag No. 5 schreibt:
R
R> h <- c(0, 0, 8, 1, 3, 16, 5, 2, 3, 1, 0)
R> p <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1) / 36
R> chisq.test(a, p, B=100000, simulate.p.value=TRUE)
 
        Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 1e+05
        replicates)
 
data:  h and p
X-squared = 36.667, df = NA, p-value = 0.1946

Der geschaetzte p-Wert ist nicht hinreichend klein, um an der Fairness eines Wuerfels zu zweifeln.
(in "chisq.test(a, p,... " sollte das 'a' doch eine 'h' sein oder?)
Wenn ich nun spaßenshalber $h_2$=100 mache statt $0$ kommt ein höherer p-value heraus, obwohl diese Würfel dann ganz sicher nicht fair sind.
Wenn ich nun $h$ gleich $p$ setzte (mal $36$) kommt ein sehr kleiner p-Wert raus.
Sollte es dann nich heißen hinreichend groß (.. um an der Fairness eines Würfels zu zweifeln)?



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-28


2020-03-28 17:49 - Yor in Beitrag No. 7 schreibt:
 

2020-03-28 16:51 - luis52 in Beitrag No. 5 schreibt:
R
R> h <- c(0, 0, 8, 1, 3, 16, 5, 2, 3, 1, 0)
R> p <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1) / 36
R> chisq.test(a, p, B=100000, simulate.p.value=TRUE)
 
        Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 1e+05
        replicates)
 
data:  h and p
X-squared = 36.667, df = NA, p-value = 0.1946

Der geschaetzte p-Wert ist nicht hinreichend klein, um an der Fairness eines Wuerfels zu zweifeln.

2020-03-28 17:49 - Yor in Beitrag No. 7 schreibt:
(in "chisq.test(a, p,... " sollte das 'a' doch eine 'h' sein oder?)

Ja.
2020-03-28 17:49 - Yor in Beitrag No. 7 schreibt:
Wenn ich nun spaßenshalber $h_2$=100 mache statt $0$ kommt ein höherer p-value heraus, obwohl diese Würfel dann ganz sicher nicht fair sind.
Wenn ich nun $h$ gleich $p$ setzte (mal $36$) kommt ein sehr kleiner p-Wert raus.
Sollte es dann nich heißen hinreichend groß (.. um an der Fairness eines Würfels zu zweifeln)?

Sorry, da habe ich beim Aufruf von chisq.test() einen Fehler gemacht. Hier die Korrektur:
R
R> h <- c(0, 0, 8, 1, 3, 16, 5, 2, 3, 1, 0)
R> p <- c(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)/36
R> # Dein urspruengliches Beispiel: Kleiner p-Wert, H_0 ablehnen
R> chisq.test(h,p=p,B=100000,simulate.p.value=TRUE)
 
        Chi-squared test for given probabilities with simulated p-value (based
        on 1e+05 replicates)
 
data:  h
X-squared = 30.738, df = NA, p-value = 0.00185
 
# Dein Fall mit h_2=100: Kleiner p-Wert, H_0 ablehnen
R> h[2] <- 100  
R> chisq.test(h,p=p,B=100000,simulate.p.value=TRUE)
 
        Chi-squared test for given probabilities with simulated p-value (based
        on 1e+05 replicates)
 
data:  h
X-squared = 1175.5, df = NA, p-value = 1e-05
 
# Dein letztes Beispiel: Grosser p-Wert, H_0 nicht ablehnen
R> chisq.test(36*p,p=p,B=100000,simulate.p.value=TRUE)
 
        Chi-squared test for given probabilities with simulated p-value (based
        on 1e+05 replicates)
 
data:  36 * p
X-squared = 0, df = NA, p-value = 1



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Vielen Dank für die Antwort.
Der p-value der Stichprobe ist = 0.00185.
Das heißt er ist unter einem Signifikanzniveau von 0.2%.
Das heißt es ist sehr unwahrscheinlich, dass die Würfel fair sind, richtig?


Ändert zwar nix an der Aussage aber bei mir kommt da 0.00175 raus
> h <- c(0, 0, 8, 1, 3, 16, 5, 2, 3, 1, 0)
> p <- c(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)/36
> chisq.test(h,p=p,B=100000,simulate.p.value=TRUE)
 
	Chi-squared test for given probabilities with simulated p-value (based
	on 1e+05 replicates)
 
data:  h
X-squared = 30.738, df = NA, p-value = 0.00175
 



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luis52
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2020-03-29 10:13 - Yor in Beitrag No. 9 schreibt:
Vielen Dank für die Antwort.
Der p-value der Stichprobe ist = 0.00185.
Das heißt er ist unter einem Signifikanzniveau von 0.2%.
Das heißt es ist sehr unwahrscheinlich, dass die Würfel fair sind, richtig?

Besser ist zu sagen, der *geschaetzte* p-Wert ist kleiner als 0.002. Damit gibt es Grund zu vermuten, dass mindestens einer der Wuerfel nicht fair ist.

2020-03-29 10:13 - Yor in Beitrag No. 9 schreibt:

Ändert zwar nix an der Aussage aber bei mir kommt da 0.00175 raus
> h <- c(0, 0, 8, 1, 3, 16, 5, 2, 3, 1, 0)
> p <- c(1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)/36
> chisq.test(h,p=p,B=100000,simulate.p.value=TRUE)
 
	Chi-squared test for given probabilities with simulated p-value (based
	on 1e+05 replicates)
 
data:  h
X-squared = 30.738, df = NA, p-value = 0.00175
 


Das ist nicht ueberraschend, denn dein geschaetzter p-Wert 0.00175 resultiert wie meiner auf Grund einer Simulation. In deine Simulation gehen andere Zufallszahlen ein als in meine.

vg Luis



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Yor
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Oh, das macht Sinn. Ich hatte es zwei mal mit diesen Werten ausgeführt und hatte zweimal 175. Habe es jetzt noch ein paar mal mehr ausgeführt und hatte andere Werte.

Danke noch einmal.



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