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Kein bestimmter Bereich gemischte Paare bei befreundeten Zahlen
Bekell
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-28


"Ob es dagegen gemischte Paare von befreundeten Zahlen gibt, ist unbekannt."  Theo Kempermann, Zahlentheoretrische Kostproben, s. S. 41

Wenn es ein gemischte Paar geben sollte, so müßte die ungerade Zahl eine gerade Teilersumme haben und die gerade Zahl eine ungerade Teilersumme.

Beides ist möglich, aber jeweils selten. Die Teileranzahl aller Teiler einschließlich der Zahl selber wird nämlich nur für Quadratzahlen ungerade. Da die Zahl selber rausgezogen wird, habe wir nur so eine gerade Teileranzahl und damit eine gerade Teilersumme.
Da alle ungeraden Zahlen nur ungerade Teiler haben, muß die Teileranzahl -Zahl selber gerade sein, denn nur so wird die Teilersumme aller echter Teiler einer ungeraden Zahl gerade.

Für die gerade Zahl eines solchen Paares ist eine ungerade Teilersumme echter Teiler notwendig. Die wird nur erreicht, wenn die Anzahl ungerader echter Teiler in der Teilersumme der geraden Zahl  ungerade ist.

Ich habe mal die Quadratzahlen bis 1 Mio duchgetestet, und die rausgesucht, wo die Teilersumme der Teilersumme ungerade ist. TS2 = ungerade
1 7 49 [1, 7, 49] 3   TS1: 8 TS2 7
2 17 289 [1, 17, 289] 3   TS1: 18 TS2 21
3 31 961 [1, 31, 961] 3   TS1: 32 TS2 31
4 49 2401 [1, 7, 49, 343, 2401] 5   TS1: 400 TS2 561
5 71 5041 [1, 71, 5041] 3   TS1: 72 TS2 123
6 97 9409 [1, 97, 9409] 3   TS1: 98 TS2 73
7 127 16129 [1, 127, 16129] 3   TS1: 128 TS2 127
8 199 39601 [1, 199, 39601] 3   TS1: 200 TS2 265
9 241 58081 [1, 241, 58081] 3   TS1: 242 TS2 157
10 287 82369 [1, 7, 41, 49, 287, 1681, 2009, 11767, 82369] 9   TS1: 15842 TS2 8191
11 337 113569 [1, 337, 113569] 3   TS1: 338 TS2 211
12 449 201601 [1, 449, 201601] 3   TS1: 450 TS2 759
13 577 332929 [1, 577, 332929] 3   TS1: 578 TS2 343
14 647 418609 [1, 647, 418609] 3   TS1: 648 TS2 1167
15 881 776161 [1, 881, 776161] 3   TS1: 882 TS2 1341
16 967 935089 [1, 967, 935089] 3   TS1: 968 TS2 1027

Wir sehen auf jeden Fall folgende Sachlage. Die Quadratzahl hat immer eine sehr niedrige Teilersumme, eine Teilersumme, die mir steigendem n auch prozentual immer kleiner wird, so daß davon auszugehen ist, daß in oberen Bereichen auch kein solches Paar mehr zu finden sein wird. Letztlich hat Addition gegen Quadrieren keine Chance.

Interessant die Zahl 287^2, 287 ist 1 uZ vor 289 = 17^7. Dort sind die ersten beiden nichttrivialen Teiler prim.  Alle anderen Wurzeln sind prim.

Merkwürdig noch, nur Teilersummen von Primzahlen zum Quadrat ergeben eine gerade Zahl, deren Teilersumme wiederum ungerade ist.

Hinzu kommt folgendes: Die Anzahl der geraden Zahlen deren Summe echter Teiler ungerade ist, sinkt. Sie werden also relativ immer seltener. Von den 500 geraden Zahlen bis 10^3 haben gerade einmal 37 eine ungerade Summe echter Teiler. Darunter befinden sich, verständlicherweise, alle gerade Quadratzahlen.

Nr: 1   2 [1, 2] 2 TS: 1
Nr: 2   4 [1, 2, 4] 3 TS: 3
Nr: 3   8 [1, 2, 4, 8] 4 TS: 7
Nr: 4   16 [1, 2, 4, 8, 16] 5 TS: 15
Nr: 5   18 [1, 2, 3, 6, 9, 18] 6 TS: 21
Nr: 6   32 [1, 2, 4, 8, 16, 32] 6 TS: 31
Nr: 7   36 [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36] 9 TS: 55
Nr: 8   50 [1, 2, 5, 10, 25, 50] 6 TS: 43
Nr: 9   64 [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64] 7 TS: 63
Nr: 10   72 [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72] 12 TS: 123
Nr: 11   98 [1, 2, 7, 14, 49, 98] 6 TS: 73
Nr: 12   100 [1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100] 9 TS: 117
Nr: 13   128 [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128] 8 TS: 127
Nr: 14   144 [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144] 15 TS: 259
Nr: 15   162 [1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162] 10 TS: 201
Nr: 16   196 [1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196] 9 TS: 203
Nr: 17   200 [1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200] 12 TS: 265
Nr: 18   242 [1, 2, 11, 22, 121, 242] 6 TS: 157
Nr: 19   256 [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256] 9 TS: 255
Nr: 20   288 [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288] 18 TS: 531
Nr: 21   324 [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 81, 108, 162, 324] 15 TS: 523
Nr: 22   338 [1, 2, 13, 26, 169, 338] 6 TS: 211
Nr: 23   392 [1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 49, 56, 98, 196, 392] 12 TS: 463
Nr: 24   400 [1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400] 15 TS: 561
Nr: 25   450 [1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450] 18 TS: 759
Nr: 26   484 [1, 2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484] 9 TS: 447
Nr: 27   512 [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512] 10 TS: 511
Nr: 28   576 [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576] 21 TS: 1075
Nr: 29   578 [1, 2, 17, 34, 289, 578] 6 TS: 343
Nr: 30   648 [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 81, 108, 162, 216, 324, 648] 20 TS: 1167
Nr: 31   676 [1, 2, 4, 13, 26, 52, 169, 338, 676] 9 TS: 605
Nr: 32   722 [1, 2, 19, 38, 361, 722] 6 TS: 421
Nr: 33   784 [1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 49, 56, 98, 112, 196, 392, 784] 15 TS: 983
Nr: 34   800 [1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 80, 100, 160, 200, 400, 800] 18 TS: 1153
Nr: 35   882 [1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 441, 882] 18 TS: 1341
Nr: 36   900 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36, 45, 50, 60, 75, 90, 100, 150, 180, 225, 300, 450, 900] 27 TS: 1921
Nr: 37   968 [1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88, 121, 242, 484, 968] 12 TS: 1027

Unsere Eingangsfrage verengt sich auf folgendes Problem: Kann die Teilersumme eines unger. Quadrates eine gerade Quadratzahl sein? Ja, 2401 (= 49^2) hat TS 400 = 20^2

Umgekehrt: Kann die Teilersumme eines ger. Quadrates eine ungerade Quadratzahl sein?
Bisher nicht gefunden. Gerade Quadrate haben sind zwar TS-reich, aber sie können mir ihrer Addition nur schwer die Quadrierung einholen. 2401 = 7^4, hat also schon eine außergewöhnlich große Teilersumme, nämlich ihr siebenfaches, währen normale unger Quadrate sich selbst +1 zur TS haben.  



Im Bild sieht man die Abweichung der Teilersumme mit ungerader Teileranzahl, - oft gerade Quadrate und 2^n-Zahlen - von der Zahl selbst.



Offensichtlich gibt es Grenzwerte. Kann jemand algebraisch die bestimmen?

(An die Antworter: Habt Ihr heute arbeitsfrei?)


   


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Das Schwierige ist nicht die Mathematik. Schwierig ist es zu formulieren, daß man selber versteht, was man sieht und die anderen auch!



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