Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel GrafZahl
Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » Auflösen von Gleichung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich Auflösen von Gleichung
notgoodatmath
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-28


Guten Tag

Folgt aus der Gleichung (x_1)^3 + 3*x_1 = (x_2)^3 + 3*x_2, dass x_1 = x_2 sein muss?
Falls ja, kann mir jemand helfen, wie man darauf kommt?
Vielen Dank

Gruss :)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3830
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Du meinst also die Gleichung

\[x_1^3+3x_1=x_2^3+3x_2\]
Untersuche dazu am besten die wichtigsten Eigenschaften der Funktion \(f: \IR\to\IR\) mit

\[f(x)=x^3+3x\]
Das sollte dir eine eindeutige Antwort liefern.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1610
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-28


Huhu notgoodatmath,

alternativ kannst du auch alles nach links bringen und deine Gleichung als Produktgleichung schreiben. Dann hilft der Satz vom Nullprodukt.

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
notgoodatmath
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-28


vielen Dank für die Antwort!

Aha! weil f(x) bijektiv ist (insb. injektiv), folgt, dass x_1 und x_2 gleich sein müssen...

Stimmt das? :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3830
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-03-28


Hallo,

2020-03-28 13:45 - notgoodatmath in Beitrag No. 3 schreibt:
vielen Dank für die Antwort!

Aha! weil f(x) bijektiv ist (insb. injektiv), folgt, dass x_1 und x_2 gleich sein müssen...

Stimmt das? :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

genau. 👍


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
notgoodatmath
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-28


Danke euch beiden!

Kann man Beiträge in Matheplanet als "erledigt" markieren?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 3830
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-03-28


Hallo nochmals,

2020-03-28 13:51 - notgoodatmath in Beitrag No. 5 schreibt:
Danke euch beiden!

Gern geschehen!

2020-03-28 13:51 - notgoodatmath in Beitrag No. 5 schreibt:
Kann man Beiträge in Matheplanet als "erledigt" markieren?

Wenn du einen weiteren Beitrag in einem eigenen Thread schreibst, dann gibt es unter dem Editorfenster unterschiedliche Optionen, die man per Haken auswählen kann. Eine davon heißt: "Das Thema ist nun erledigt". Wenn du dort den Halken setzt, dann wird selbiger zusammen mit deiner Antwort für den Thread gesetzt und in der Übersicht des Forums erscheint der Thread ebenfalls "abgehakt".

Eine Alternative hierzu: du kannst auch nachträglich abhaken. Hierzu nimmst du einen beliebigen eigenen Beitrag im Thread und klickst auf das "Ok"-Symbol am unteren Bildrand. Auf diese Weise muss man dann keinen weiteren Beitrag posten. Kannst du gleich jetzt probieren. 🙂


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-03-28


2020-03-28 13:45 - notgoodatmath in Beitrag No. 3 schreibt:
Aha! weil f(x) bijektiv ist (insb. injektiv), folgt, dass x_1 und x_2 gleich sein müssen...

Stimmt das? :)

Für mich hast du den Stier hier noch nicht bei den "Hörnern" gepackt. Die entscheidende Eigenschaft von $f(x):=x^3+3x$ ist deren strenge Monotonie, welche aus $f'(x)=3(x^2+1)>0$ folgt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2032
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-03-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}\)
@weird: Da wir schon bei Tiervergleichen sind, will ich darauf hinweisen, dass du hier mit Kanonen auf Spatzen schießt. $f$ ist die Summe von zwei streng monoton wachsenden Funktionen und somit selbst streng monoton wachsend.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1610
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-03-28


Huhu,

aus stetig und injektiv folgt doch auch monoton, oder etwa nicht?!

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]

edit: Siehe:



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
notgoodatmath
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 28.03.2020
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-28


@weird:

Aha, ja meine Argumentation war vielleicht sogar zirkulär... Ursprünglich wollte ich ja eingentlich die Injektivität zeigen, was ich mit der Bijektivität versucht habe, welche ich wiederum aus der Injektivität gefolgert habe......

Danke für den Hinweis



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-03-28


@Nuramon und Kuestenkind

Natürlich habt ihr beide recht. Es ging mir aber in erster Linie darum, hier endlich auch die strenge Monotonie von $f(x)=x^3+3x$ ins Spiel zu bringen, wie immer man die jetzt begründet. 😎

Edit: Habe mir erlaubt, hier und auch oben schon, die Funktionsgleichung von $f(x)$ gegenüber der von Diophant in #1 eingeführten richtigzustellen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1610
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-03-28


Huhu,

ich bin leider auch noch nicht wirklich auf der Höhe, vermutlich geht es ja sogar hier darum, die Injektivität der Funktion zu beweisen?! Oder woher kommt diese Gleichung nun (@notgoodatmath) ? Da dieser Thread ja in Schulmathematik / Terme und Gleichungen einsortiert ist erlaube ich mir dann auch noch mein Gedanken (ohne Analysis) zu Ende zu bringen:

\(\displaystyle x^3+3x=y^3+3y\)

\(\displaystyle x^3-y^3+3x-3y=0\)

\(\displaystyle (x-y)(x^2+xy+y^2)+3(x-y)=0\)

\(\displaystyle (x-y)(x^2+xy+y^2+3)=0\)

Nun, warum der zweite Faktor ungleich Null ist, überlasse ich dann doch dem geneigten Leser.

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 5301
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-03-28


@Kuestenkind

Ist natürlich ein ganz anderer und auch sehr interessanter, wenngleich insgesamt dann doch - vor allem zusammen mit dem Nachweis von $x^2+xy+y^2+3\ne 0$ - etwas aufwändigerer Zugang zu dieser Aufgabe.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1610
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-03-29


Huhu weird,

ja, meine Alternative sollte auch keinen Preis für die Eleganz gewinnen. Dafür passt sie m.E. besser zum Threadtitel und basiert auf reiner Mittelstufenmathematik. Der letzte Nachweis ist natürlich auch nicht so schwierig.

Ich hoffe es geht dir gut - bleib gesund!

Gruß (und einen schönen Sonntag wünscht),

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
notgoodatmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
notgoodatmath hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]