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Lineare Algebra » Vektorräume » Beweis für Satz zum Lösen von Rekursionen
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Kein bestimmter Bereich Beweis für Satz zum Lösen von Rekursionen
tbd321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-28


Hallo lieber Matheplanet,

ich hab da mal wieder eine Frage. Es geht hierbei um einen allgemeinen Satz zur Lösung von Rekursionen. Dieser lautet wie folgt:

fed-Code einblenden

Soooo, den Beweis habe ich erstmal nur kurz angerissen, da meine Frage sich auf eben diesen Teil des Beweises bezieht. Da es wahrscheinlich zu banal ist, wurde in dem Beweis nicht explizit gezeigt, dass es sich bei den vier Mengen um Vektorräume handelt. Daher wollte ich dies selber prüfen. Bei (A1) viel es mir noch relativ leicht. Ich glaube zumindest, dass es richtig ist. Ich bin wie folgt vorgegangen:

fed-Code einblenden

Wie muss ich nun aber bei (A2), (A3) und (A4) vorgehen? (sofern es bei (A1) richtig war)
Irgendwie bereitet es mir Schwierigkeiten herauszufinden, wie genau ich die beiden definierten Funktionen (Summe und Skalarmultiplikation) bei diesen drei Aussagen nachweise.

Ich hoffe Ihr könnt mir helfen!
Liebe Grüße
tbd321



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-28


(A2) Summe von rationalen Funktionen ist rational.
(A3) Das ist prinzipiell eine Linearkombination in den $\frac{1}{(1-\alpha_i z)^{d_i}}$. Für erzeugende Funktionen $F,G$ mit der Eigenschaft (A3) bündele also in der Summe $F+G$ nach diesen Termen.
(A4) Ähnlich wie in (A3), bündele nach $\alpha_i^n$.

Jeweils geht es ähnlich (bzw. ein wenig leichter) für die Skalarmultiplikation.

Es ist übrigens gut, dass du solche Sachen überprüfst - man sollte immer jeden Schritt selber versuchen, wenn es nicht sofort klar sein sollte.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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tbd321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29


Also danke erstmal für deine Hinweise.

Bei dem Hinweis für (A2) habe ich noch etwas Probleme. Wie hilft der mir weiter, wenn es sich bei q(z) um ein Polynom mit komplexen Koeffizienten handelt? Da stehe ich leider noch auf dem Schlauch.
Die Tipps für (A3) und (A4) habe ich aber hoffentlich richtig umgesetzt. Vielleicht kannst du da ja mal kurz drüber schauen.

fed-Code einblenden

Grüße
tbd321



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-03-30


Ich habe es mal überflogen, es sieht gut aus.

Mein Hinweis bei (A2) war vielleicht auch nicht komplett richtig (hatte nicht richtig gelesen), aber die Summe zweier erzeugender Funktionen würde so aussehen: $\frac{p_1}{q} + \frac{p_2}{q}$. Es sollte klar sein, dass die Summe auch (A2) erfüllt.

Übrigens kannst du Homogenität und Additivität simultan überprüfen, es genügt $\varphi(v+\lambda w) = \varphi(v) + \lambda \varphi(w)$ zu zeigen, um zu beweisen, dass $\varphi$ linear ist (wieso?).


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tbd321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-02


Ja das ist jetzt klar, danke dafür!

Wieso es reicht das zu zeigen? Im Grunde vereint diese Gleichung die Eigenschaften von Additivität und Homogenität. Bei geeignetem $\lambda$, nämlich $\lambda=1$ erhält man zudem die Gleichung für die Additivität und für v gleich dem Nullvektor erhlaten wir die Gleichung für die Skalarmultiplikation.

Ich hätt nun eine weitere Frage zu dem Beweis :S
Dieser sagt nämlich im Weiteren (es geht direkt nach dem oben Abgeschnittenen weiter):

fed-Code einblenden


Als erstes fällt mir hierzu der Rangsatz ein:

fed-Code einblenden

Mir ist jedoch nicht ganz klar, wie ich Kern und Bild der Funktionen in Abhängigkeit von den Eigenschaften (A1)-(A4) bestimmen soll.
Vielleicht könntest du mir da netterweise nochmal auf die Sprünge helfen.

Beste Grüße
tbd321




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