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Mathematik » Topologie » Separable Teilmenge
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Universität/Hochschule J Separable Teilmenge
Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-29


Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt.
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann heißt eine Menge $M \subseteq X$ dicht in X, wenn $ \overline{M} = X$ gilt.

$\mathbb R$ ist separabel da $\mathbb Q$ abzählbar und dicht in $\mathbb R$
Ich habe gelesen, dass jede Teilmengen von $\mathbb R$ nun ebenfalls separabel ist.

Nun mein Problem:
Für $(a,b) \subset \mathbb R$ kommt sofort $D:= \mathbb Q  \cap  (a,b)$ als abzählbare dichte Teilmenge in Frage.
Allerdings gilt $\overline D = [a,b] \neq (a,b)$.


Ich vermute mein Fehler wird daher kommen, dass ich $(a,b)$ als Teilmenge von $\mathbb R$ betrachte und nicht als eigenen metrischen Raum.
Wenn ich $((a,b),d|_{(a,b)})$ betrachte, dann ist $(a,b)$ sowohl offen als auch abgeschlossen. Damit hätte ich $\overline D = (a,b)$ und wäre zufrieden.

Ist meine Überlegung richtig?
Danke im Voraus!



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-29


Ja, du hast deinen Fehler richtig erkannt. Gemeint der topologische Raum $A \subseteq \mathbb{R}$ mit der Unterraumtopologie.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-03-29


Hallo Roemer,

ja, die Überlegung stimmt. Separabilität ist eine Eigenschaft metrischer Räume (allgemeiner: topologischer Räume). Entsprechend muss die betrachtete Teilmenge erst zu einem eigenen metrischen Raum gemacht werden, bevor man davon sprechen kann, ob sie separabel ist.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Roemer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-29


Danke Kezer und Vercassivelaunos.

Wie so oft, wurde mir mein Fehler erst beim richtig Niederschreiben hier bewusst. Nachdem der Text dann schon fast fertig war, habe ich mich entschieden, es von ein paar klugen Köpfen überprüfen trotzdem noch überprüfen zu lassen. Vielleicht hilft der Eintrag ja auch mal wem.



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Roemer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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