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Mathematik » Geometrie » Hertz'sche Flächenpressung
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Kein bestimmter Bereich Hertz'sche Flächenpressung
MashIV
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-30


0Hallo zusammen,
dies ist mein erste Beitrag im MathePlanet. Ich habe im FAQ nichts über den gewüsnchten Aufbau von Fragen gefunden. Falls es dazu Regeln gibt, bitte postet den Link, damit ich meine Frage anpassen kann.

Das Problem:

Ich berechne die Flächenpressung zwischen Rad- und Schiene mit Hertz. Dabei teilt sich die Kontaktzone in Gleit- und Haftgebiet. Mir ist die Größe des Haftgebiets bekannt. Ich berechne den prozentualen Anteil des Gleitgebiets an der gesamten Fläche. Vereinfacht nehme ich an, dass die Teilung parrallel zur y-Achse durch einen Punkt auf der x-Achse verläuft.

Ich kenne: Flächeninhalt A, die Ellipsenhalbachsen a und b. Sowie den Anteil des Gleitgebiets an der gesmaten Kontaktfläche \(T = A_{gleit} / A_{gesamt}\)

Es handelt sich also um einen Ellipsensegment, von dem lediglich A bekannt.

Flächeninhalt eines Kreissegmentes:

\[A = 2/3 \cdot s \cdot h\]
Kann ich die Formel für Ellipsen so modifizieren?


\[A = 2/3 \cdot \frac{b}{a} s \cdot \frac{a}{b} h\]
Natürlich kürzen sich die Brüche raus, aber schließlich möchte ich nachher h der Ellipse, und nicht vom Kreis erhalten.

Gesucht ist h. Aber ich kenne nur A, da ich den Faktor T kenne.

Zweiter Ansatz:

\[A = \pi \cdot a \cdot b \]
nach a um und setzte den Faktor T vor A, erhalte ich lediglich eine kleinrere Ellipse, statt den Punkt auf der x-Achse, ab dem sich der Anteil T in Prozent von der gesamten Fläche  links von x erstreckt.

Als Beispiel:

Das Gleitgebiet nimmt 80% der gesamstne Kontaktfläche ein. Der Faktot T = 0.8. Ich möchte wissen, an welcher Stelle auf der x Achse sich links des Punktes x auf der x-Achse 80% der Fläche und rechts des Punktes 20% der Fläche befinden.

Ich habe bisher keine Formel aufstellen können, die diese Anforderung erfüllt. Ich habe fälschlicherweise lediglich \(x = 2a \cdot T\) gerechnet. Natürlich ist das falsch.

Im Grunde möchte ich ja den Schnittpunkt/linie  einer abgeschnittenen Ellipse berechnen. Zur Berechnung der Fläche könnte ich integrieren würde dann aber Iterativ arbeiten müssen, und mich dem Zielwert nähren. Allerdings wäre das ein sehr aufwändiger Weg, den ich gerne vermeiden würde.

Funktion der Ellipse:

\[y = \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2 - x^2}\]  



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MashIV
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-03-30


Es ist wohl nur numerisch zu lösen. Hier der Code:

m = 0.5;
A_Kontakt = 6.28;
A_gleit = 6.28/999;
a = 2;
b= 1;
x_2 = a;
A_it = 0;
fun = @(x) (b/a) * sqrt(a.^2-x.^2)
x_1step = a;
x_1 = -a;
steps = 0;

if A_gleit > A_Kontakt/1000

   
while A_it > -1
   
    if  A_it > 1.05 * A_gleit |  A_it < 0.95 * A_gleit
        disp('range');
    else
        break
    end    
       
        A_it = 2 * integral(fun,x_1,x_2);

        if A_gleit > A_it
            m = m/2;
        end
disp('m ='); disp(m);
disp('A_it ='); disp(A_it);  

        if A_it > A_gleit
            x_1 = x_1 + m * x_1step;
%            m = m/2;
        else
            x_1 = x_1 - m * x_1step;
%            m=m/2;
        end
       
disp('x_1 = '); disp(x_1);

steps = steps + 1;
disp('step '); disp(steps)

    end

else
   
    x_1 = a;
   
end

clear



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