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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Rang und Orthogonal-Raum eines Polynomialraums
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Kein bestimmter Bereich Rang und Orthogonal-Raum eines Polynomialraums
raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-31


Hallo zusammen:

Folgend die Aufgabe:



Sei nun \(f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0, g(x)=b_2x^2+b_1x+b_0\)

\(\phi(f,g)=2a_0b_1+2a_0b_2-2a_1b_0+a_1b_2-a_2b_1-2a_2b_0\)

Wie kann ich die Gleichung nach 0 auflösen, um den orthogonalen Raum zu berechnen?




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-03-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo,

es gilt $g\in V^\perp$ genau dann, wenn $g$ zu jedem $f\in V$ orthogonal ist. Statt letztere Bedingung für alle möglichen $f$ zu prüfen, reicht es aber auch schon aus nur Elemente einer Basis für $f$ einzusetzen.
\(\endgroup\)


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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Vielen Dank für den Tipp.

Wir haben nun die Gleichung in Matrix-Form aufgeschrieben und dann mit dem Gauss-Verfahren gelöst.

Die letzte Frage, die ich hier hätte, wäre, ob es korrekt wäre, wenn wir die Lösung wie folgt aufgschreiben:

\(V^t= \{ f \in V |\phi(f,g)=0;g(x)x^2-x+0.5 \} \)

Vielen Dank für die Hilfe!



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-01


Nein, das wäre nicht korrekt.



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Ist es ein Fehler in der Notation?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Ja. So wie es da steht, wäre (wenn ich richtig gerechnet habe), $V^\perp = V$.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Damit wir uns nicht missverstehen:
$V^\perp = V$ ist falsch.

Aber es gilt $\{ f \in V |\phi(f,g)=0;g(x)=x^2-x+0.5 \}=V$, da $\phi(f,x^2-x+0.5)=0$ für alle $f\in V$ gilt.
\(\endgroup\)


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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Die Lösung ist also richtig, aber ich muss an der Notation noch arbeiten? Verstehe ich das richtig?

Nochmals danke!



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-04-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Ihr habt anscheinend herausgefunden, dass $x^2-x+0.5\in V^\perp$ ist.
Ist $x^2-x+0.5$ das einzige Polynom in $V^\perp$?
\(\endgroup\)


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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Nein, es ist nicht das einzige. Alle Vielfache von dem wären auch noch da drin.

Stimmt das?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-04-01


Ja, das stimmt. Gibt es noch andere?



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ergab:

\(t\left(
\begin{array}{c}
0.5\\
-1 \\
1 \\
\end{array}
\right)\)

und

\(t \in \mathbb{R}\).

Es soll noch Lösungen ausser dem geben?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-04-01


Das sollst du beantworten, nicht ich...



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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Da ich für diese Gleichung nur diese Lösung erhalten habe und die Vielfachen berücksicht habe, denke ich nicht, dass es noch andere Lösungen gibt.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-04-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Also, was ist dann $V^\perp$?
\(\endgroup\)


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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01




\(V^\perp=\{f \in V |\phi(f,g)=0;g(x)=t*(x^2-x+0.5), t \in \mathbb{R}\}\)



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-04-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
2020-04-01 15:55 - raede in Beitrag No. 15 schreibt:


\(V^\perp=\{f \in V |\phi(f,g)=0;g(x)=t*(x^2-x+0.5), t \in \mathbb{R}\}\)
Nein. Was ist denn die Definition von $V^\perp$?
\(\endgroup\)


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raede
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Es sind alle Elemente dort drin enthalten, so dass sie zu jedem Element von \(V\) orthogonal sind.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-04-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Und welche Eigenschaft erfüllen alle Polynome der Form $t(x^2-x+0.5)$?
\(\endgroup\)


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Sie sind zu jedem \(f \in V\) orthogonal, oder?



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Ja.



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2020-04-01 15:55 - raede in Beitrag No. 15 schreibt:


\(V^\perp=\{f \in V |\phi(f,g)=0;g(x)=t*(x^2-x+0.5), t \in \mathbb{R}\}\)

Stimmt dann diese Beschreibung nicht?



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Ja, die stimmt nicht.

Offenbar stehst du gerade auf dem Schlauch:
Die Lösung ist einfach, dass $V^\perp = \{f\in V\mid \exists t\in \IR: f(x)=t(x^2-x+0.5)\}$.
Oder in anderen Worten: $\{x^2-x+0.5\}$ ist eine Basis von $V^\perp$.
\(\endgroup\)


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Jetzt sehe ich es - vielen Dank!



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