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Kein bestimmter Bereich J Poynting Vektor = Leistungsfluss
Seligman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-03-31


Hallo Leute,

habe ein schweres verständnisproblem beim Satz von Poynting (Link: was die Definition
vom Poynting-Vektor anbetrifft.

Zuerst der allgem "Erhaltungssatz" der Elektrodynamik oder Satz von Poynting ist:


$${\displaystyle \int _{V}{\vec {j}}\cdot {\vec {E}}\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} V}$$

mit ${\displaystyle u:={\frac {1}{2}}({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {H}})={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{0}{\vec {E}}^{2}+\mu _{0}{\vec {H}}^{2})}$ und ${\displaystyle {\vec {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\,({\vec {E}}\times {\vec {B}})}$ (das letzte ist definitionsgemäß der Poynting-Vektor).

Es ist leicht nachprüfbar, dass der Poynting-Vektor die Dimension ${\mathrm  {{\frac  {Energie}{Fl{\ddot  {a}}che\cdot {\mathrm  {Zeit}}}}={\frac  {Leistung}{Fl{\ddot  {a}}che}}={\frac  {J}{m^{2}\cdot s}}={\frac  {W}{m^{2}}}={\frac  {N}{m\cdot s}}}}$ hat.

Was ich nicht verstehe, ist wieso entspricht der Poynting -Vektor genau dem Leistungsfluss $\frac{P}{A}$?  Zwar hätte der Leistungsfluss dieselbe Dimension aber der Dimensionscheck oben impliziert ja grundsätzlich nicht, dass Poynting-Vektor dem Leistungsfluss entsprechen muss.

Ein doofes Beispiel ist zB kinetische Energie entspricht ja nicht potentiellen Energie nur weil ihre Dimensionen übereinstimmen.

Ich suche eine nachvollziehbare Herleitung, dass der Poynting Vektor genau dem Leistungsfluss $\frac{P}{A}$ entspricht. Also sowas wie wir starten mit einem beliebigen phys System eingeschlossen in einem fixen Volumen $V$, zB $n$ Atome und wir nehmen an sie verlassen das Volumen nicht. Sie können elektromagn Strahlung emitieren, die natürlich das gegebene Volumen mit Lichtgeschwindigkeit verlässt. EM-Wellen transportieren Energie, also verliert das System mit der Zeit durch das Strahlen gewisse Energie, dieser Verlust pro Zeiteinheit entspricht der Leistung $P$.

Da EM-Wellen sich in eine bestimmte Richtung ausbreiten, suchen wir mit dem Leistungsfluss eine vektorielle Funktion $\vec{L}$, die sowas erfüllt: $P= \int _{\partial V}\vec{L} \cdot dS$. Dieses $\vec{L}$ wäre nach Konstruktion unserer Leistungsfluss.

Die Frage ist wieso $\vec{L}=\frac {1}{\mu _{0}} (\vec {E} \times \vec {B})$? also wieso der Poynting Vektor?




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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-01


Hallo,

Ich habe gerade auf die Schnelle den Jackson konsultiert und im Kapitel 6.7 (in meiner Auflage) befindet sich eine Herleitung des Poynting Theorems.

Viele Grüße
OS


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac



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Seligman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Hi,

in meiner Auflage von Jackson 6.8 :) Leider beantwortet das nicht ganz meine Frage. Jackson leitet ja gleichung von oben her:


 $$-\int _{V}\vec {j}\cdot \vec {E}d^3x= \int_V \frac{\frac{1}{8 \pi} \partial (\vec {E} \cdot \vec {D}+\vec {B} \cdot \vec {H})}{\partial t} d^3x + \frac{c}{4 \pi} \int_{\partial V} (\vec{E} \times \vec{H}) dS$$
Jetzt kommt erst das Problem: Dann definiert er $u:=\frac{1}{8 \pi}(\vec {E} \cdot \vec {D}+\vec {B} \cdot \vec {H})$ als totale Energiedichte und $\vec{S}:= \frac{c}{4 \pi}  (\vec{E} \times \vec{H})$ als Poynting, der den Energieluss representieren soll, und zwar doch recht willkürlich.

Die mathem Herleitung verstehe ich, wieso doch $u$ und $S$ scheinbar willkürlich zur totalen Energiedichte bzw Energiefluss erklärt werden ist mir nicht klar. Das kommt mir vor nach dem Motto: hmmm, der zweite Summand ist ein Oberflächenintegral, also hat das was mit dem Fluss zu tun. Zack, das ist dann der Energiefluss. Definition von $u$ als totale Energiedichte ist ebenso unklar "rechtfertigt". Wieso ist ausgerechnet das so definierte $u$ hier die totale Energiedichte? Die Dimensionen stimmen,  aber das ist ja nur sowas ein Reality-Check ob alle Einheiten passen, also was notwendiges, nicht unbedingt hinreichendes. Vergleiche meine Analogie oben mit kinetischer Energie und potentieller Energie.




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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-01


Hallo!

Ich halte es in dieser Frage wie Richard Feynman. Man könnte vielleicht auch andere Formeln für die Energiedichte und den Energiefluss des elektromagnetischen Feldes finden, aber bisher hatte man nie Probleme mit denen von Poynting, bzw. es existiert bis dato kein Experiment, dass deren Gültigkeit in Frage stellen würde.



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-01


Üblicherweise betrachtet man doch zuerst hochgradig homogene Systeme wie den Plattenkondensator oder die lange Spule, für welche sich die Gesamtenergien einfach berechnen lassen und man aufgrund der Homogenität der Felder kaum eine andere Wahl hat, als die Energiedichte über $u=\frac{E}{V}$ zu erklären. Von da an ist dann der Übergang von dieser durchschnittlichen zur lokalen Energiedichte $u=\frac{dE}{dV}$ völlig natürlich und unterscheidet sich auch nicht von anderen Konzepten wie etwa der Massen- oder Ladungsdichte.

Ich vermute, dass sich für den Leistungsfluss ähnliche hochgradig isotrope strahlende Systeme finden lassen.

Ich vermute auch - da lasse ich mich aber gerne korrigieren -, dass es aus den Maxwell-Gleichungen alleine gar nicht möglich ist zu zeigen, dass diese Ausdrücke der gewohnten mechanischen Energie entsprechen. Zur Verbindung der beiden müsste man sicher irgendwo die Lorentz-Kraft verwenden.



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-01


2020-04-01 11:34 - traveller in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich vermute auch - da lasse ich mich aber gerne korrigieren -, dass es aus den Maxwell-Gleichungen alleine gar nicht möglich ist zu zeigen, dass diese Ausdrücke der gewohnten mechanischen Energie entsprechen. Zur Verbindung der beiden müsste man sicher irgendwo die Lorentz-Kraft verwenden.

Ich denke, selbst dann ist es nicht eindeutig. Die Lorentzkraft fließt schon in das Poynting-Theorem über den $\mathbf j\cdot\mathbf E$-Term ein$^1$, schließlich beschreibt dieser Term genau die mechanische Leistung der Materie durch das elektromagnetische Feld.

2020-04-01 11:34 - traveller in Beitrag No. 4 schreibt:
Üblicherweise betrachtet man doch zuerst hochgradig homogene Systeme wie den Plattenkondensator oder die lange Spule, für welche sich die Gesamtenergien einfach berechnen lassen und man aufgrund der Homogenität der Felder kaum eine andere Wahl hat, als die Energiedichte über $u=\frac{E}{V}$ zu erklären. Von da an ist dann der Übergang von dieser durchschnittlichen zur lokalen Energiedichte $u=\frac{dE}{dV}$ völlig natürlich und unterscheidet sich auch nicht von anderen Konzepten wie etwa der Massen- oder Ladungsdichte.

Ich vermute, dass sich für den Leistungsfluss ähnliche hochgradig isotrope strahlende Systeme finden lassen.
Ich denke, dass das dem Threadersteller schon klar ist. Der Knackpunkt liegt ja vielmehr darin, wie man die Größe der Energiedichte (oder des entsprechenden Flusses) alleine mit den Feldgrößen quantifiziert. Das ist m.W. in der E-Dynamik eben ad hoc und ohne eine bessere Begründung als "klappt eben".

$^1 \mathbf j\cdot\mathbf E = Nq\mathbf v\cdot \mathbf E = \mathbf v\cdot N q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)=N\mathbf v\cdot \mathbf F_L=P_\text{mech}$



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Seligman
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-01


Ja, die Erklärung aus Feynman lecture ist top. Im Grunde scheint es weniger darum zu gehen, rein "mathematisch" zu beweisen, dass $\vec{S}=\vec{E} \times \vec{H}$, sondern gewisserweise physikalisch motiviert zu fordern, dass der Erhaltungssatz die Form wie hier hat:

vlg Gleichung (27.3):

$\begin{equation}
\label{Eq:II:27:3}
-\frac{d}{dt}\int_Vu\,dV=\int_\Sigma\ S \cdot\ n \,da+
(\text{work done on matter inside $V$}).
\end{equation}$

Und dann sozusagen mit Maxwell-gleichungen an $E \cdot j$ (=Arbeit an der Materie) zu jonglieren bis es ein Ausdruck der Form 27.3 rauskommt. Und dann identifiziert man die entstandenen Terme nur nach deren Form mit $u$ oder mit $S$. Gewissenweise nur nach der Struktur, nicht mehr. Also zb alles, worauf $\nabla$ angewendet wird, gehört zu $S$, der rest ist $u$, oder so? Hab ich das jetzt richtig verstanden?



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-01


Ja, so verstehe ich es auch.



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traveller
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2020-04-01 08:54 - Tirpitz in Beitrag No. 3 schreibt:
Man könnte vielleicht auch andere Formeln für die Energiedichte und den Energiefluss des elektromagnetischen Feldes finden, aber bisher hatte man nie Probleme mit denen von Poynting, bzw. es existiert bis dato kein Experiment, dass deren Gültigkeit in Frage stellen würde.
Könnte die ART darüber Aufschluss geben? In den Energie-Impuls-Tensor können ja alle möglichen Energiedichten und -stromdichten eingehen, aber andere Definitionen dürften doch zu (theoretisch) messbar anderen Lösungen der Feldgleichungen führen.



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-04-02


2020-04-01 22:13 - traveller in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-04-01 08:54 - Tirpitz in Beitrag No. 3 schreibt:
Man könnte vielleicht auch andere Formeln für die Energiedichte und den Energiefluss des elektromagnetischen Feldes finden, aber bisher hatte man nie Probleme mit denen von Poynting, bzw. es existiert bis dato kein Experiment, dass deren Gültigkeit in Frage stellen würde.
Könnte die ART darüber Aufschluss geben? In den Energie-Impuls-Tensor können ja alle möglichen Energiedichten und -stromdichten eingehen, aber andere Definitionen dürften doch zu (theoretisch) messbar anderen Lösungen der Feldgleichungen führen.
Ich glaube, dass das keine triviale Fragestellung ist. Ich weiß gar nicht, was für Experimente in dieser Richtung bereits unternommen wurden. Hier gibt es eine lange Liste von Alternativvorschlägen (wobei manche aber nicht eichinvariant sind) für die Definition des Leistungsflusses.



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Noch eine Frage an traveller:

Dieser Blickpunkt den du angedeutet hast über ART auf meine Frage zum Poynting vektor würde mich sehr interessieren. Kannst du das etwas genauer erläutern.

zu meinem Vorwissen: Ich habe zwar keine ART-Vorlesung bisher besucht (nur SRT-Teil auf Edynamik), aber mich von einem Jahr (zugegeben etwas halbherzig) in ein ART skript eingearbeitet. Habe auch ein Paar DiffGeo-Kenntnisse ungefähr auf dem Stand einer "Einführung in Diffgeo"-Vorlesung. Konzepte wie ko oder kontravariante Ableitungen, oder allgemeiner differentialoperationen auf Bündeln sind mir vertraut. Also habe zumindest keine Angst vor Mathe dort und abstrakten Argumenten auf diesem Gebiet.



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-04-02


Naja, war nur sone vage Idee: Auf der rechten Seite der Einsteinschen Feldgleichungen steht der Energie-Impuls-Tensor, welcher damit als Quellenterm für die Krümmung der Raumzeit wirkt und (im Prinzip) messbare gravitative Effekte erzeugt. Die erste Komponente dieses Terms ist eine Energiedichte, zu welcher unter anderem die elektromagnetische Energiedichte beiträgt. Die davon erzeugte Krümmung der Raumzeit müsste im Prinzip messbar sein, und eine andere Definition der EM Energiedichte würde vielleicht andere Resultate liefern.

NUN kommt allerdings noch hinzu, dass der Energie-Impuls-Tensor eben ein Tensor ist und neben der Energiedichte noch einige weitere Komponenten besitzt, darunter auch die Energiestromdichte, also auch die Komponenten des Poynting-Vektors. Daher könnte es natürlich sein, dass sich eventuelle andere Definitionen schlussendlich wieder rauskürzen, sobald man versucht, messbare Effekte zu berechnen, und man vielleicht einfach damit leben muss, dass manche Grössen nicht eindeutig definiert werden können. Was aber durchaus kein Problem wäre, solange sich eine solche Uneindeutigkeit nicht auf Messergebnisse auswirkt. Ähnliches kennt man ja von der Eichfreiheit bei den EM-Potentialen.



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Seligman hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Seligman hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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