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Schule J Was sind vollkommene Zahlen?
ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-03


1)Sind vollkommene zahlen= natürliche zahlen? ich denke nicht
Oder sind sie NUR die Zahlen, die dieses Eigenschaft haben (addieren Teiler)


2) Warum klappt das hier nicht? Nach der Definition von der vollkommene
3) dritte Frage Wie kommt man auf solche Zahlen?

diese Zahl Bsp:

12: 1,2,3,4,6

1+2+3+4+6=16>12??




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Ziad,

natürlich sind alle vollkommenen Zahlen natürliche Zahlen. Denn es geht um die Frage der Teilbarkeit.

Dieser Begriff stammt aus der Antike und wurde so definiert:

- als Teiler einer Zahl kommen alle Zahlen infrage, durch die man die Zahl ohne Rest teilen kann
- die Zahl selbst ist kein Teiler, jedoch die 1 ist ein Teiler
- Die sog. Teilersumme bildet man, indem man alle Teiler addiert
- Diejenigen Zahlen, bei denen die Teilersumme gleich der Zahl ist, heißen Vollkommene Zahlen oder auch Perfekte Zahlen.

Die ersten fünf vollkommenen Zahlen sind:
Vollkommene Zahlen
6
28
496
8128
33550336

12 ist also keine vollkommene Zahl. In der Aufgabe 4) geht es um die Zahl \(2^4\cdot \left(2^5-1\right)=496\).


Gruß, Diophant
 
\(\endgroup\)


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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


Vielen Dank,
kurze Frage
ich dachte jede Primzahle in der Potenz führt zu vollkommene Zahl
n=2 ->6
n=3->28
n=5->496
....usww..
aber geht nich n=11-->2096128 ..??
er sagt  in der #Aufgane , man erzeugt vollkommene Zahl, wenn man n als Primzahl einsetzt , oder?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-04


2020-04-04 06:56 - ziad38 in Beitrag No. 2 schreibt:
er sagt  in der #Aufgane , man erzeugt vollkommene Zahl, wenn man n als Primzahl einsetzt , oder?

Ja, das ist im Buch klar falsch und ein Indiz dafür, dass die Autoren keine Ahnung haben, wovon sie reden! 😲

Richtig muss es heißen, dass der Faktor $2^n-1$ in der Formel $2^{n-1}(2^n-1)$ eine Primzahl sein muss, was natürlich dann eine weit stärkere Bedingung ist!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
@weird:

2020-04-04 09:02 - weird in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-04-04 06:56 - ziad38 in Beitrag No. 2 schreibt:
er sagt  in der #Aufgane , man erzeugt vollkommene Zahl, wenn man n als Primzahl einsetzt , oder?
Ja, das ist im Buch klar falsch und ein Indiz dafür, dass die Autoren keine Ahnung haben, wovon sie reden! 😲
Richtig muss es heißen, dass der Faktor $2^n-1$ in der Formel $2^{n-1}(2^n-1)$ eine Primzahl sein muss, was natürlich dann eine weit stärkere Bedingung ist!

So kategorisch würde ich das nicht sehen. Es ist unglücklich formuliert, aber falsch ist es ja nicht. Gemeint ist wohl sinngemäß: wenn der Term eine vollkommene Zahl zurückliefert, dann ist n eine Primzahl (bzw. n ist prim, falls 2^n-1 Mersenne-Primzahl).

Auf jeden Fall hat Ziad es falsch verstanden, was ihm nicht zu verdenken ist. 😉

@Ziad:
2020-04-04 06:56 - ziad38 in Beitrag No. 2 schreibt:
er sagt  in der #Aufgane , man erzeugt vollkommene Zahl, wenn man n als Primzahl einsetzt , oder?

Nein, das Wörtchen wenn kommt in der Aufgabe nicht vor. Es ist im Buch wie schon gesagt schlecht formuliert, daher hast du es an dieser Stelle falsch verstanden. Gemeint ist: wenn \(2^{n-1}\cdot\left(2^n-1\right)\) eine vollkommene Zahl ist, dann ist \(n\) eine Primzahl.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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ziad38
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04


hallo,
aslo es bedeutet wenn das Ergebnis aus diesem Term eine vollkommen Zahl,  dann
muss die(n) auch eine Primzahl,stimmt?
Aber Vorsiche NOCHT JEDE  n=Primzahl fürht beim Einsetzten im Term zur vollkommende Zahl? habe ich richtig verstanden.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-04-04


Hallo Ziad,

2020-04-04 11:27 - ziad38 in Beitrag No. 5 schreibt:
hallo,
aslo es bedeutet wenn das Ergebnis aus diesem Term eine vollkommen Zahl,  dann
muss die(n) auch eine Primzahl,stimmt?
Aber Vorsiche NOCHT JEDE  n=Primzahl fürht beim Einsetzten im Term zur vollkommende Zahl? habe ich richtig verstanden.

Ja, das hat du jetzt richtig verstanden. 👍


Gruß, Diophant



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-04


2020-04-04 11:27 - ziad38 in Beitrag No. 5 schreibt:
aslo es bedeutet wenn das Ergebnis aus diesem Term eine vollkommen Zahl,  dann
muss die(n) auch eine Primzahl,stimmt?
Aber Vorsiche NOCHT JEDE  n=Primzahl fürht beim Einsetzten im Term zur vollkommende Zahl? habe ich richtig verstanden.

Ja, hast du richtig verstanden! 🙂

Wobei allerdings "nicht jede Primzahl $n$ führt beim Einsetzen zu einer vollkommenen Zahl" die Sachlage nicht richtig beschreibt. Richtig ist, dass dabei fast nie eine vollkommene Zahl herauskommt und man bisher überhaupt nur 51(!) *) solche Fälle kennt, obwohl alle paar Jahre wieder ein neuer dazukommt. Auch in dieser Hinsicht vermittelt deine Buchvorlage einen vollkommen falschen Eindruck! 🙁

*) Es könnte z.B. immer noch sein, dass es nur endlich viele solche Fälle gibt, obwohl dies heuristisch gesehen eher unwahrscheinlich ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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ziad38
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danke,



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