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Mathematik » Numerik & Optimierung » Lineares Least-Squares-Problem mit komplex konjugierten Parametern
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Universität/Hochschule Lineares Least-Squares-Problem mit komplex konjugierten Parametern
kokobanana
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-04


Hallo,

ich bin gerade dabei den poly-Reference Least-Squares Frequency Domain Algorithmus zu implementieren, um die Modalanalyse von FRF's durchzuführen.
Dabei muss man ein lineares Least-Squares Problem lösen:

$$H(w) = \sum_{i=1}^n \left(\frac{ v_i \ l_i^T}{jw-\lambda_i} + \frac{ v_i^* \ l_i^H}{jw-\lambda_i^*} \right)- \frac{LR}{w^2} + UR$$
Ich habe gemessene Werte für $H(w)$ an den Stellen $w_i$ und alle Pole $\lambda_i$ und Participation-Vektoren $l_i$ sind bekannt. Zu berechnen sind die Parameter $v_i$, $v_i^*$, $LR$ und $UR$. Wenn ich das Lösen von Least-Squares Problemen richtig verstanden habe, will ich die rechte Seite in eine Matrix $\Phi$ umwandeln, die multipliziert mit meinen gesuchten Parametervektor $$\theta = [v_1, ..., v_n,v_1^*, ..., v_n^*, LR, UR]$$ dann die gleiche angegebene Form hat. Anschließend kann ich $\theta$ dann über $$\theta^T = \Phi^+y$$ berechnen, wobei $y$ meine Messwerte sind.

Die Matrix ist nicht schwer aufzustellen, aber wenn ich das in Matlab löse, wird nicht sichergestellt, dass $v_i$ und $v_i^*$ komplex konjugiert sind. Wie könnte ich die Gleichung umwandeln, sodass ich nicht nach dem komplex konjugierten Parametern auflöse, sondern vllt. nur nach einem von beiden, da daraus ja der andere direkt bekannt ist. Ich habe versucht $v_i = x+iy$ einzusetzen und für Real- und Imaginärteil einzeln aufzulösen, aber auch dann entstehen komplexe Zahlen für beide Teile, obwohl diese jeweils reell sein sollten.
Vielen Dank im Voraus.



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kokobanana
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-12


Kleiner Bump für den Fall, dass jemand etwas weiß.
Ich kann die Frage wohl auch umformulieren: Wie gehe ich damit um, dass ich ein lineares Least-Squares-Problem habe, wo ich nach einem Parameter $v_i$ und seinem komplex konjugierten $v_i^*$ auflösen will? Entweder es gibt eine Möglichkeit die Gleichung umzuformen, sodass nur nach z.B. $v_i$ gesucht wird, oder ich gebe Matlab vor, dass die beiden Parameter beim Lösen die Bedingungen erfüllen müssen, komplex konjugiert zu sein. Für beide Ansätze fällt mir kein Lösungsweg ein.



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-12


Hallo kokobanana,
wenn Du $v_i=x_i+\mathbf{i} y_i$ einsetzt, solltest Du ein lineares Least-Squares-Problem mit den Variablen $x_i$ und $y_i$ erhalten. Wofür steht die Abkürzung FRF?

Servus,
Roland



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kokobanana
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-12


Hi rlk,
danke für deine Antowrt. FRF steht für Frequency Response Function, also den Frequenzgang eines Systems, bzw. die Fouriertransformierte der Impulsantwort desselben.

Wenn ich das tue wie von dir vorgeschlagen, kann ich tatsächlich so umformen, dass ich x und y als meine Least-Squares-Parameter erhalte. Aber da die Matrix und meine Messwerte $H(jw)$ komplex sind, erhalte ich für x und y ebenfalls komplexe Werte, was ja meiner Annahme nach nicht richtig sein kann.



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-13


allo kokobanana,
leider habe ich den Satz
2020-04-04 14:57 - kokobanana im Themenstart schreibt: Ich habe versucht $v_i = x+iy$ einzusetzen und für Real- und Imaginärteil einzeln aufzulösen, aber auch dann entstehen komplexe Zahlen für beide Teile, obwohl diese jeweils reell sein sollten.
übersehen.

Du solltest aber ein Least-Squares-Problem mit den reellwertigen Variablen $x_i$ und $y_i$ erhalten, wenn Du alle komplexen Größen in Real- und Imaginärteile zerlegst.

Servus,
Roland



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kokobanana
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-13


Also jeweils Real- oder Imaginärteil der entstehenden Matrix nehmen, verstehe. Das werde ich dann mal versuchen, vielen Dank.



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