Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel
Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » *Primzahl ohne Differenz
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Kein bestimmter Bereich *Primzahl ohne Differenz
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1198
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-04


Gesucht wird die kleinste Primzahl p (> 3), welche sich nicht als Differenz zweiter Zahlen a und b darstellen lässt, wobei a*b das Produkt aller Primzahlen kleiner p ist.

\(p \neq a-b; a \cdot b = \prod_{i=1}^{p_n < p} p_i\)

Zum Beispiel ist:
5 = 2*3 - 1
7 = 2*5 - 3



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
haegar90
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.03.2019
Mitteilungen: 336
Aus: Gog
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-05


Die gesuchte Primzahl ist auf jeden Fall größer als $17$ 🙃


-----------------
Gruß haegar



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2037
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Lösung unter Benutzung der (korrekten) Behauptung von haegar90:

Aus $p=a-b$ folgt
\[(a+b)^2 = p^2+4ab = p^2+4\prod_{q< p,~ q \text{ prim}}q\] Für $p=19$ kann man nachrechnen, dass der Term auf der rechten Seite keine Quadratzahl ist. Somit ist 19 die kleinste Zahl, die sich nicht wie gewünscht darstellen lässt.


Eine Möglichkeit haegar90s Behauptung zu überprüfen:

Für Primzahlen $3\leq p < 19$ ist $p^2+4\prod_{q< p,~ q \text{ prim}}q$ immer das Quadrat einer ungeraden Zahl $u\in \IN$.
Für $a := \frac 12(u+p) $ und $b:= \frac 12 (u-p)$ gilt dann immer $a,b\in \IN$ sowie $a-b = p$ und
\[ab = \frac 14\left((a+b)^2-(a-b)^2\right)= \frac 14 (u^2-p^2) =\prod_{q< p,~ q \text{ prim}}q. \]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MartinN
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.08.2016
Mitteilungen: 1198
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-16


Sehr gut... ich dachte erst, dass man jede Primzahl so darstellen kann und hatte dann mit einem kleinen Programm systematisch solche Darstellungen gesucht... funktionierte aber nur bis 19 :/

Vielleicht gibt es ja eine Darstellung \(19 = a \cdot b \pm a \cdot c \pm b \cdot c;~ a \cdot b \cdot c = \prod_{q < p,~ q \text{ prim}}q\)
Aber das hatte ich mir dann weniger angeschaut xD



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MartinN hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dies ist eine Knobelaufgabe!
Der Themensteller hat bestimmt, dass Du Lösungen oder Beiträge zur Lösung direkt im Forum posten darfst.
Bei dieser Aufgabe kann ein öffentlicher Austausch über Lösungen, Lösungswege und Ansätze erfolgen. Hier musst Du keine private Nachricht schreiben!
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]