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Universität/Hochschule J Existenz eines Fixpunktes mit ZWS
viganme
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-04


Hey, ich komme an einer Aufgabe, die ich wahrscheinlich mit dem Zwischenwertsatz lösen kann, nicht weiter.
Um folgende Aufgabe handelt es sich:
*
Sei \(f: ]a,b[->\mathbb{R}\) mit \(a<b\) eine stetige Funktion, zu der ein \(y\in ]a,b[\) existiert mit
\[ f(f(y))=y \] Zeigen Sie, dass dann auch ein \(x\in ]a,b[\) existiert mit \(f(x)=x.\)
*
Ich habe mir eine Hilfsfunktion definiert
\[ h(x):=f(x)-x, \forall x\in ]a,b[ \] Wenn ich jetzt \( h(f(x))\) betrachte erhalte ich
\[h(f(x))=x-f(x), \forall x\in ]a,b[\]
Nun komme ich nicht mehr weiter.
(Während dem schreiben dieser Nachricht, ist mir noch eingefallen:
Kann ich davon ausgehen, dass
\( f(x)-x<0\) und \( x-f(x)>0\) bzw. analog der andere Fall, dann hätte \( h(x)\) eine Nullstelle und damit hätte ich auch die Aufgabe gelöst.)

Liebe Grüße



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-04

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Hallo viganme,

leider gilt $h(f(x))=x-f(x)$ nicht, denn es ist ja nur vorausgesetzt, dass es ein $y$ gibt, sodass $f(f(y))=y$. Es gilt nicht für alle $x\in(a,b)$.
Du denkst aber in die richtige Richtung. Betrachte einfach nicht $h(x)$ und $h(f(x))$ für alle $x$, sondern $h(y)$ und $h(f(y))$ für das vorgegebene $y$. Dann kannst du deine Überlegung aus dem Nachtrag anwenden.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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viganme
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-04

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2020-04-04 20:28 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo viganme,

leider gilt $h(f(x))=x-f(x)$ nicht, denn es ist ja nur vorausgesetzt, dass es ein $y$ gibt, sodass $f(f(y))=y$. Es gilt nicht für alle $x\in(a,b)$.
Du denkst aber in die richtige Richtung. Betrachte einfach nicht $h(x)$ und $h(f(x))$ für alle $x$, sondern $h(y)$ und $h(f(y))$ für das vorgegebene $y$. Dann kannst du deine Überlegung aus dem Nachtrag anwenden.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

Hi Vercassivelaunos,

danke für deine Antwort. Ja, stimm, dass war ja auch nur ein kurzer Gedankenblitz:D
Also müsste mein Beweis so aussehen:

Ich definiere mir meine Hilfsfunktion \(h(x)=f(x)-x\)  \( \forall x\in ]a,b[ \) und betrachte h(y).
Dann gilt \(h(y)=f(y)-y\) und wegen \(f(f(y))=y\) für ein \(y\in ]a,b[\) gilt auch \(h(f(y))=y-f(y)\).
Nun betrachte ich den Fall, dass f(y)<y (der andere Fall folgt analog). Dann gilt
\(f(y)-y<0\) und \(y-f(y)>0\) für dieses feste y. Damit existiert nach dem Nullstellensatz von Bolzano auch ein \(c\in]a,b[\) mit \(h(c)=0\). Damit erhalten wir
\[ h(c)=f(c)-c=0\] und damit folgt insbesondere f(c)=c.
\(\endgroup\)


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