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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz zeigen
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Konvergenz zeigen
Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-05


Hallo! Könnt ihr mir bitte helfen? Man soll zeigen, dass die Funktionenfolge \(f_{n}:[a, \infty) \to \mathbb R \) mit \(f_{n} = \dfrac{nx}{e^{nx}} \) und \(a > 0 \) gleichmäßig konvergiert.

Also die Grenzfunktion ist ja die Nullfunktion, d.h. ich muss jetzt \(|\ \dfrac{nx}{e^{nx}}| \) irgendwie abschätzen. Nur: wie macht man das? 🤔



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-05


Hey Mona109,

denke mal an die Reihendarstellung für die Exponentialfunktion. Wie könnte man den Ausdruck \(e^{nx}\) geeignet abschätzen?



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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Hm... so?

\( \dfrac{nx}{e^{nx}} \leq \dfrac{nx}{1+nx+\dfrac{(nx)^{2}}{2}} \)

🤔



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-04-06 15:04 - Mona109 in Beitrag No. 2 schreibt:
Hm... so?

\( \dfrac{nx}{e^{nx}} \leq \dfrac{nx}{1+nx+\dfrac{(nx)^{2}}{2}} \)

🤔

Genau. Jetzt musst du dir doch nur noch klarmachen, dass auf der rechten Seite eine Nullfolge steht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Okay, cool, danke! 🤗 Dass wir es rechts vom Ungleichheitszeichen mit einer Nullfolge zu tun haben, konnte ich auch zeigen. Aber was ist mit dem  \(a \) ?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hi,

das \(a\) garantiert dir hier doch nur, dass der linke Rand des Definitionsbereichs positiv ist. Sonst würde deine Ungleichung ja so nicht funktionieren.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Aber für \(x=0\) erhalten wir doch auch eine Nullfolge, und zwar \(\dfrac{0}{1} = 0\). Wieso muss also \( a>0 \) gelten? 🤔





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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-04-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

das Problem ist ja, dass es nicht nur um punktweise sondern um gleichmäßige Konvergenz geht. Untersuche doch einmal

\[\lim_{n\to\infty}f_n\left(\frac{1}{n}\right)\]
um zu sehen, dass das in dem Moment nicht mehr funktioniert, wenn \(a=0\) (oder kleiner) ist.


Gruß, Diophant


\(\endgroup\)


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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Es ist \(lim_{n \to \infty} f_{n}(\frac{1}{n}) = \dfrac{1}{e} \), aber was hat das \(a > 0 \) damit zu tun? Tut mir leid, aber ich stehe gerade echt aufm Schlauch 🙁



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-04-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

nun, im Fall der gleichmäßigen Konvergenz müsste auch dieser Term gegen Null konvergieren, da \(\frac{1}{n}\to 0\) und ja für alle \(x\in D\) die Ungleichung

\[\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon\]
bzw. in diesem Fall vereinfacht

\[\left|f_n(x)\right|<\varepsilon\]
für ein beliebiges \(\varepsilon>0\) ab einem bestimmten \(n_0\) gelten müsste. Und das funktioniert ja hier ganz offensichtlich in dem Moment nicht mehr, in dem der Definitionsbereich bei 0 oder kleiner beginnt.


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Aber müsste man dann nicht \( a> 1\) verlangen, wenn das Ganze für \( \dfrac{1}{n} \) nicht aufgeht?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-04-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

für jedes noch so kleine positive a würde für \(n\ge n_0\) und einem gewissen \(n_0\in\IN\) gelten:

\[\frac{1}{n}<a\]
Also sagt der Grenzwert aus Beitrag #7 über das Konvergenzverhalten der Folge für positive x nichts aus. Er zeigt nur, dass es in dem Moment, wo wir \(a=0\) zulassen, vorbei ist mit der gleichmäßigen Konvergenz.

Da selbige hier zu zeigen ist, hat der Autor nicht umsonst \(a>0\) als untere Grenze für den Definitionsbereich vorgegeben. 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Mona109
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-06


Hey Diophant, vielen lieben Dank für deine Hilfe, ich habe es jetzt so gelöst:

\( |f_{n}(x) -0| \leq \dfrac{nx}{1+nx+ \dfrac{(nx)^2}{2}} \leq \dfrac{2nx}{(nx)^2} = \dfrac{2}{nx} \leq \dfrac{2}{an} \to 0 \).


So haben wir zum Schluss kein x mehr dort stehen, wie es die gleichmäßige Konvergenz fordert. Was meinst du? 😄



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-04-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2020-04-06 19:43 - Mona109 in Beitrag No. 12 schreibt:
Hey Diophant, vielen lieben Dank für deine Hilfe, ich habe es jetzt so gelöst:

\( |f_{n}(x) -0| \leq \dfrac{nx}{1+nx+ \dfrac{(nx)^2}{2}} \leq \dfrac{2nx}{(nx)^2} = \dfrac{2}{nx} \leq \dfrac{2}{an} \to 0 \).


So haben wir zum Schluss kein x mehr dort stehen, wie es die gleichmäßige Konvergenz fordert. Was meinst du? 😄


Das sieht doch jetzt gut aus. 👍


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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