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Physik » Elektrodynamik » Taylorentwicklung bei Beweis der Poissongleichung (a-Potential)
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Universität/Hochschule Taylorentwicklung bei Beweis der Poissongleichung (a-Potential)
pkcs
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-06


Hallo zusammen,

beim Beweis der Poissongleichung $\Delta \Theta =-\frac{\rho}{\epsilon_0}$ im Jackson verstehe ich eigentlich alles bis auf zwei Schritte und würde mich über Hilfe sehr freuen. Jackson schreibt:


1. Warum ist die Taylorentwicklung so wie in den eckigen Klammern beschrieben? Sie müsste doch
$$\rho(x')=\rho(x)+\langle\nabla\rho(x')\bigg|_{x = x'}, (x'-x)\rangle+ \frac{1}{2}\langle (x'-x), Hess(\rho(x'))\bigg|_{x = x'}\cdot(x'-x)\rangle$$ lauten. Warum verschwindet der zweite Summand, und warum kann man $\frac{1}{2}\langle (x'-x), Hess(\rho(x'))\bigg|_{x = x'}\cdot(x'-x)\rangle$ als $\frac{r^2}{6}\Delta\rho$ schreiben? Die $r^2$ kommen wohl von den beiden $(x'-x)$, aber warum kann man das so zusammenschreiben (und warum die 6 im Nenner)?

2. Wie kommt man von der vorletzten auf die letzte Gleichung? Lösen des Integrals ergibt bei mir:
$$\Delta \Theta_a(x)=\left[-\frac{\rho(x)}{\epsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{3a^2r^2}{(r^2+a^2)^{5/2}} dr\right]-\left[\frac{\Delta\rho(x)}{\epsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{3a^2r^4}{6\cdot(r^2+a^2)^{5/2}} dr\right]+\mathcal{O}(a^2)$$ Wie kommt man denn von hier auf die Ordnungen?

Über einige Tipps würde ich mich wirklich sehr freuen,

vg pkcs



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-07


Hallo pkcs!

Um zu zeigen, daß
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Wenn Du mal in die erste Urauflage von Jacksons Buch, erschienen 1962 in Englisch, schaust, wird das dort "richtig" gemacht. Offenbar hast Du eine neuere Auflage von Jacksons Buch in deutscher Übersetzung erwischt, bei der wahrscheinlich zu einem deutlich späteren Zeitpunkt noch andere Autoren herumgepfuscht haben, :-). Mir erschließt sich nicht, warum man nicht bei Jacksons ursprünglicher Herleitung von 1962 geblieben ist.

Jetzt zu Deinem Problem der Taylor-Entwicklung in der von Dir benutzten Auflage:
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Lange Rede, kurzer Sinn: Verschwende nicht zuviel Zeit mit dem Verstehen, es ist nicht optimal aufgeschrieben, und vielleicht ist die "6" ein Schreibfehler. Ich habe mir bisher nicht die Mühe gemacht, das nachzurechnen. Stattdessen empfehle ich Dir Jacksons Buch in der Erstauflage von 1962, :-)

Grüße
Juergen



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