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 Flächenparametrisierungen und Inverse davon |
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 |  Themenstart: 2020-04-06
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Hallo!
Ich habe da eine Frage zu parametrisierten Flächen und inverse Abbildungen.
Sei also $f:\mathbb{R}^2\supset U\rightarrow \mathbb{R}^3$ eine glatte Abbildung, die vollen Rang hat, d.h. Rang$(df)=2$. Solch eine Immersion nennt Roland Gunesch in seiner Vorlesung "Differentialgeometrie" "parametrisiertes Flächenstück".
Jetzt ist die Jacobimatrix der Form $df\in\mathbb{R}^{3\times 2}$.
Dann kommt im Laufe der Vorlesung aber der Ausdruck $(df)^{-1}$ vor. Das verwirrt mich, da es eine solche Inverse ja gar nicht geben muss.
Frage 1) In wie fern ist dieses Inverse einer nicht-quadratischen Matrix gemeint?
Er definiert dann das Differential zwischen $\mathbb{R}^2$ und $T_pf$, wobei der $T_pf$ als folgende Menge definiert ist $T_pf:=\{df_p\cdot X|X\in\mathbb{R}^2\}$.
Er bemerkt dann, dass $df:\mathbb{R}^2\rightarrow T_pf$ ein Vektorraumisomorphismus ist, da ja nur 2 Basisvektoren den $T_pf$ aufspannen. Vektorraumisomorphismen kann ich invertieren. Ok. Aber ...
Frage 2) Wie passt das mit der nicht-quadratischen $\mathbb{R}^{3\times 2}$-Jacobi-Matrix zusammen?
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-14
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Kann mir hier wirklich niemand weiterhelfen?
Mittlerweile habe ich im Buch 'Elementare Differentialgeometrie' von Christian Bär eine ähnliche Konstruktion gefunden.
Zunächst habe ich mich gefreut, dass er nur Inverse $F^{-1}$ von Parametrisierungen $F:\mathbb{R}^2\supset U\rightarrow \mathbb{R}^3$ verwendet und kein $(D_pF)^{-1}$. Wobei bei ihm das $D$ eine Jacobi-Matrix kennzeichnet.
Aber dann kommt auf Seite 109 der 2.Auflage wieder ein $(D_pF)^{-1}$ vor.
Ich kann dem also nicht entkommen. ^^
Mittlerweile ist mir auch klar, dass eine Abbildung zwischen $U$ und $T_pF$ invertierbar ist, da linear und beide Räume zweidimensional.
Doch leider wird auf Seite 110 von Bär solch eine Abbildung wieder mit der Jacobi-Matrix gleichgesetzt, diese ist aber nicht quadratisch.
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-10-30
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Ich glaube, ich habe die Lösung in 'Differential Geometry of Curves and Surfaces' von Manfredo do Carmo gefunden.
Es ist eine Frage der Basis und der Notation!
Betrachten wir also $f: \mathbb{R}^2\supseteq U \rightarrow S\subseteq \mathbb{R}^3$, wobei $U$ eine offene Menge und $S$ eine reguläre Fläche ist. Wenn wir nun $df:U\rightarrow T_pS$ anshen, dann müssen wir wissen, dass $T_pS$ über Kurven definiert ist.
Dann können wir Kurven ansehen $\alpha: I \rightarrow U$ und $\beta=f\circ \alpha: I \rightarrow S$. Wenn nun $u,v$ die Parameter von $U$ sind, dann kann man eine Basis $(\partial_uf, \partial_vf)$ wählen und bekommt wegen
$\beta'(0) = df(\alpha'(0)) = \partial_uf u'(0) + \partial_vf v'(0)$
den Vektor $(u',v')$ in der Basis $\partial_uf,\partial_vf$. Man bildet also den Vektor $(u'v')$ in der Basis $\{(1,.0), (0,1)\}$ auf den Vektor $(u',v')$ in der Basis $\{\partial_u f, \partial_vf\}$ ab. Das ist dann eine 2x2-Matrix.
$df:U\rightarrow T_pS$ ist also eine 2x2 Matrix und damit invertierbar.
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