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Universität/Hochschule J Kongruenzen - Notation
EpsilonDelta
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-06


Als ich mich damals mit Zahlentheorie beschäftigt habe, wurden Kongrunzen wie folgt eingeführt: \(a\equiv b\ (n) \Leftrightarrow n | (a-b)\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{Z}\colon a = kn+b\)

Gerade habe ich aber etwas über Kryptographie gelesen wo die Notation
\(b = a\ \mathrm{mod}\ n \) verwendet wird. Es bezeichnet \(b\) dabei den Rest von \(a\) bei Division durch \(n\).

Man sieht dass sich die Notationen ein wenig unterscheiden. Beispielweise könnte ich in \(b = a^p\ \mathrm{mod}\ n \) dann \(a = c\ \mathrm{mod}\ n\) einsetzen und erhalte \(b = (c\ \mathrm{mod}\ n)^p\ \mathrm{mod}\ n\).

Für diesen Ausdruck gibt es mit der Kongruenzen Notation kein wirkliches Analogon, also ist das einerseits natürlich praktisch aber andererseits hab ich keine Ahnung wie man mit dieser alternativen Notation rechnet.

Ist so eine Notation in der Mathematik üblich (Habe sie nur in der Kryptographie gesehen)?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-06


Hmm, manchmal wird das schon verwendet, um Schreibarbeit zu sparen. Wirklich Vorteile zu deiner ersten Notation hat das aber nicht. Man rechnet eben im Ring $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ und nimmt sich dann einen entsprechenden Repräsentanten.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-06


2020-04-06 19:27 - EpsilonDelta im Themenstart schreibt:
Gerade habe ich aber etwas über Kryptographie gelesen wo die Notation
\(b = a\ \mathrm{mod}\ n \) verwendet wird. Es bezeichnet \(b\) dabei den Rest von \(a\) bei Division durch \(n\).
Das stimmt so nicht ganz.
$a$ und $b$ lassen bei Division durch $n$ den gleichen Rest 😉
Es ist z.B. $695=23=16=9=2 \mod 7$. Die $2$ ist dann der von Kezer angesprochene Repräsentant.

Gruß vom ¼


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-06


2020-04-06 22:01 - viertel in Beitrag No. 2 schreibt:
Es ist z.B. $695=23=16=9=2 \mod 7$. Die $2$ ist dann der von Kezer angesprochene Repräsentant.

Nein, so sollte das wirklich nicht geschrieben werden. Denn das hieße 695 = 23 und 23 = 16 und 16 = 9 und 9 = 2 mod 7. Es gilt vielmehr $695\equiv23\equiv16\equiv9\equiv2 \mod 7$.

Hingegen wird mit \(a=b\mod c\) eine zweistellige Funktion bezeichnet, die (b,c) den Wert a zuordnet. (Vergleichbar also mit a = b + c.) In vielen Programmiersprachen wird das durch a = b % c ausgedrückt.

Besonders schön ist es vielleicht nicht, dass mit "mod c" hier zwei unterschiedliche Sachen bezeichnet werden, aber m. W. in diesem Fall durchaus üblich.

2020-04-06 19:27 - EpsilonDelta im Themenstart schreibt:
andererseits hab ich keine Ahnung wie man mit dieser alternativen Notation rechnet.

Wenn mit mod die zweistellige Funktion bezeichnet wird, ist z. B. $ab\mod c=(a\mod c)(b\mod c)\mod c$, $a+b\mod c=(a\mod n)+(b\mod n)\mod c$, $a^b\mod c=(a\mod c)^b\mod c$.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-07


Ok, $\equiv$ statt $=$, da war ich schlampig🙁



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Übrigens unterscheidet LaTeX auch zwischen $\bmod$ als infix geschriebenen binären Operator (\bmod) und als Anhängsel zu woanders stehenden $\equiv$ (\mod und \pmod (letzteres gleich mit Klammern drum)).
(Da StrgAltEntf in #3 nicht die richtigen Befehle benutzt, sehen seine Formeln so unansehnlich aus.)
\(\endgroup\)


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