Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Differentialgleichungen » Partielle DGL » Lösung der inhomogenen Wellengleichung
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Lösung der inhomogenen Wellengleichung
maxxam
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2020
Mitteilungen: 18
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-07


Guten morgen zusammen,

ich habe ein Verständnisproblem bei der Art und Weise, wie mein Professor die inhomogene Wellengleichung gelöst hat und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. (Ich schreibe den Teil der Vorlesung mal hier rein und quetsche meine Fragen dazwischen):

"Allgemein kann die Erzeugung einer Welle durch eine Inhomogenität wie folgt beschrieben werden:
\(\Box u(\vec{r},t) = f(\vec{r},t)\)  (1)
Es gilt:
\(f(\vec{r},t) = \int f(\vec{r'},t')\delta(\vec{r-r'}) \delta(t-t') d^3 r' dt'       \)    (2)
Betrachte die Lösung zu \(f(\vec{r},t)= \delta(\vec{r-r'}) \delta(t-t')\) (3) in (1) "

Hier fangen die Probleme an. Allgemein würde ich sagen, dass es Sinn ergibt, auf welche Weise sich \(f(\vec{r},t)\) aus dem Integral ergibt. Nur bei
\(f(\vec{r},t)= \delta(\vec{r-r'}) \delta(t-t')\) weiß ich um ehrlich zu sein nicht, wie \(f(\vec{r'},t')\) aussieht. Oder muss ich mir darum keine Gedanken machen?

"\(\Box G(\vec{r},t,\vec{r'},t') = \delta(\vec{r-r'}) \delta(t-t') \) (4)"

Und hier ist mein größtes Problem:
Das \(\vec{r'} \) und \(t'\) in (2) Variablen sind, ergibt für mich Sinn. In der darauf folgenden Zeile \(f(\vec{r},t)= \delta(\vec{r-r'}) \delta(t-t')\) hätte ich sie aber nun nicht mehr als Variablen, sondern als frei wählbare Konstanten verstanden. Schließlich hängt die Funktion \(f\) ja auch nicht von ihnen ab. In (4) hingegen sieht es aber wieder so aus, als wären \(\vec{r'} \) und \(t'\) Variablen und keine Konstanten. Schließlich hängt die Greensche Funktion auch von ihnen ab.
Liegt hier ein Gedankenfehler von mir vor oder ist das eine andere Bezeichung für \(G(\vec{r-r'},t-t') \) wobei  \(\vec{r'} \) und \(t'\)
tatsächlich als (beliebig zu wählende) Konstanten zu verstehen sind?

Zur Vollständigkeint kommt hier noch der Rest:
"eingesetzt in (2)

\(f(\vec{r},t) = \int f(\vec{r'},t')\delta(\vec{r-r'}) \delta(t-t') d^3 r' dt'       \)
\(f(\vec{r},t) = \int f(\vec{r'},t')    \Box G(\vec{r},t,\vec{r'},t')  d^3 r' dt' \)  

\(f(\vec{r},t) = \Box \int f(\vec{r'},t')    G(\vec{r},t,\vec{r'},t')  d^3 r' dt'   = \Box u(\vec{r},t)    \)  "


Eine Frage noch zum Schluss: wie genau unterscheidet sich \(u(\vec{r},t)\) von der Greenschen Funktion?


Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt :D
Lg
maxxam

PS: Eigentlich war das Teil einer Physikvorlesung, aber ich dachte, dass das hier besser passt.











Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 769
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-07


Hallo!

Du hast das m.E. schon richtig verstanden. Dass man $G(\vec r,\vec{r}',t,t')$ schreibt, ist der Tatsache geschuldet, dass die Green'sche Funktion (qua Definition) nicht zwischen Betrachtungspunkt und Bildpunkt (im Sinne der Ereignisse $(\vec r,t)$ und $(\vec{r}',t')$) unterscheiden kann, sie ist völlig symmetrisch. Sie ist ein allgemeines (und unphysikalisches) Vehikel zum Lösen bestimmter Randwertprobleme, schließlich gibt es in der Natur keine Impulsantworten auf reine Delta-Impulse, weswegen sie auch keine "echte" Lösung ist, sie also auch ruhig von 2 Ereignissen abhängen kann.
Im konkreten physikalischen System jedoch unterscheidet man bewusst zwischen $\vec r$ und $\vec r'$. Zum Beispiel beim etwas simpleren Poisson-Problem, wo man die eine Koordinate zur Integration über die Ladungsdichte benutzt; man legt sich also fest, die Wahl, welche von beiden Variablen man wählt, ist durch die Symmetrie aber belanglos. Ein anderes Beispiel ist Kausalität: oft sind nur die retardierten Lösungen physikalisch sinnvoll, wodurch diese Symmetrie "gebrochen" wird. Die mathematisch gleichwertige, avancierte Lösung (wo dann eine Wirkung in der Zukunft die Ursache verursacht), hat gewisse, physikalische Interpretationsschwierigkeiten. ;)

Der wesentliche Unterschied zwischen der Lösung u und der Green'schen Funktion ist nur der, dass u eine "echte" Lösung für ein "echtes" physikalisches Problem ist. Das Rezept lautet ja mehr oder weniger, die Green'sche Funktion mit der Inhomogenität zu falten, um eine Lösung zu bekommen: $u=G*f.$



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxxam
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2020
Mitteilungen: 18
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-07


Erstmal danke für deine Antwort, ein Teil der Fragen hat sich dadurch geklärt und die Informationen haben geholfen. Ich muss aber gestehen, folgendes immernoch nicht ganz zu verstehen


Für
\(f(\vec{r},t) =  \delta(\vec{r-r'})\delta(t-t') \)
sind \(\vec{r'}\) und \(t'\) eben nur Konstanten, aber für die Greensche Funktion in
\(\Box G(\vec{r},\vec{r'},t,t') = \delta(\vec{r-r'}) \delta(t-t')\)
Variablen. Aber \(\vec{r'}\) und \(t'\) können ja nur eins von beiden sein.

Oder sind damit wirklich einmal Konstanten und Variablen gemeint? Ich bin nämlich bisher davon ausgegangen, dass
\(\Box G(\vec{r},\vec{r'},t,t') = \delta(\vec{r-r'}) \delta(t-t') = f(\vec{r},t)\) (*)
gemeint ist.

Oder ist eigentlich gemeint, dass
\(f(\vec{r},t) = \delta(\vec{r-r''})\delta(t-t'')\) gelten soll, was bedeutet, dass (*) nicht gilt?
Denn so würde ich auch verstehen, wie man auf
\(f(\vec{r},t) = \int f(\vec{r'},t')\delta(\vec{r-r'}) \delta(t-t') d^3 r' dt'       \) (das wäre Gleichung 2)
kommt. Dann wäre
\(f(\vec{r'},t') = \delta(\vec{r'-r''})\delta(t'-t'')\)


Wahrscheinlich habe ich jetzt die Sachen eher völlig verdreht :/








Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Tirpitz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 769
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-07


Ich glaube, du verbeist dich zu sehr in ein Detail, was nicht so wesentlich ist.

Also Gleichung (2) ist erst einmal ganz einfach die Definition von $\delta$, darauf muss man nicht "kommen".

Was $f(\vec r,t)$ angeht: Ich würde im Skript nicht so schreiben, denn es ist ja eine echte Inhomogenität (also eine Funktion) und keine Distribution. Ich würde die Gleichungen so interpretieren:

Angenommen, es gäbe eine abstrakte Green'sche Funktion $G(\vec r,\vec r',t,t')$, die die distributionswertige Gleichung $\square\,G(\vec r,\vec r',t,t')=\square'\, G(\vec r,\vec r',t,t')=\delta(\vec r-\vec r')\delta(t-t')$ erfüllt (wobei $\vec r$ und $\vec r'$ zwei vollkommen gleichberechtigte Variablen sind). Betrachte nun eine beliebige, reell-wertige Funktion $f(\vec r,t)$ mit nur einer Variablen (die auch, da reell-wertig, nicht $\delta$ sein kann). Laut Definition von $\delta$ gilt dann stets:
$f(\vec r,t)=\int\mathrm d^3r'\int\mathrm dt' f(\vec r',t')\delta(\vec r-\vec r')\delta(t-t').$ Hier wird über eine Variable integriert, die andere nicht. Setzt man jetzt ein, bekommt man $f(\vec r,t)=\int\mathrm d^3r'\int\mathrm dt' f(\vec r',t')\square\,G(\vec r,\vec r',t,t')=\square\,\int\mathrm d^3r'\int\mathrm dt' f(\vec r',t')G(\vec r,\vec r',t,t').$ Das Integral kann dann mit $u(\vec r,t)$ identifiziert werden, das auch nur von $\vec r$ und $t$ abhängt, das andere sind nur Dummy-Variablen. Betrachtungen, was hier fest und variabel ist, ergeben sich so m.E. nicht.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxxam
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2020
Mitteilungen: 18
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-07


Okay danke dir! Ich glaube, dass ich es verstanden habe 👍



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
maxxam hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
maxxam hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]