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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Teilchen im Kastenpotential, zeitliche Entwicklung
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Universität/Hochschule J Teilchen im Kastenpotential, zeitliche Entwicklung
Baerchn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-09


Zur Zeit t=0 sei die Wellenfunktion des Teilchens gegeben durch
\[
\psi(x,0) =  \sqrt{8/5a}~ (1+cos(\pi x/a))sin(\pi x/a)).
\] Wie lautet die Wellenfunktion zu einer späteren Zeit t>0?

Wie würde man an so etwas herangehen? Mit ist klar, dass die Energie-Eigenfunktionen die Form
\[
\psi_n =  \sqrt{2/a}~ sin(n\pi x/a))
\] haben, und das Energiespektrum
\[
E_n = \frac{n^2\hslash^2\pi^2}{2ma^2}.
\] Wäre die Lösung der Aufgabe jetzt irgendwie die Summe
\[
 \sum{a_n\psi_n e^{-iE_nt/\hslash}}~?
\]



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-09

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Hallo Baerchn,

mit der Doppelwinkelformel $\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)$ kannst du die angegebene Funktion so umschreiben, dass sie eine Linearkombination von Eigenfunktionen ist. Dann kannst du die Zeitentwicklung für jeden Term einzeln bestimmen (gemäß der von dir angegebenen Summe mit passenden $a_n$).

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Baerchn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10


okay danke, also
\[ \psi(x,0) = \sqrt{8/5a}(sin(\pi x/a)+1/2 ~sin(2\pi x/a))
\] und für die Koeffizienten in der Summe bilde ich dann die folgenden Integrale?
Wobei ich ausnutze, dass \(\int_0^a ~sin(m\pi x/a)~sin(n\pi x/a)dx=0\) für \(m\neq n\).
\[a_1 = \int_0^a \sqrt{2/a} ~sin(\pi x/a) \sqrt{8/5a} ~sin(\pi x/a)dx=\frac{4}{\sqrt{5} a} \int_0^a sin^2(\pi x/a)dx = \frac{4}{\sqrt{5} a} \frac{a}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}
\] und
\[a_2 = \int_0^a \sqrt{2/a} ~sin(2\pi x/a) \sqrt{8/5a} ~1/2~sin(2\pi x/a)dx=\frac{2}{\sqrt{5} a} \int_0^a sin^2(2\pi x/a)dx = \frac{2}{\sqrt{5} a} \frac{a}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\] Alle anderen Koeffizienten gleich Null



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-10

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Zunächst einmal hast du nicht richtig ausmultipliziert:

\[\begin{align*}
\sqrt{\frac{8}{5a}}\left(1+\cos\left(\frac{\pi x}{a}\right)\right)\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)&=\sqrt\frac{8}{5a}\left(\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\right)\\
&=\sqrt\frac{8}{5a}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)+\sqrt\frac{2}{5a}\sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right).
\end{align*}\]
Deine Koeffizienten sind zwar richtig (sehen zumindest sinnvoll aus, habe nicht nachgerechnet), aber das Integrieren war unnötig. Du hast doch deine Wellenfunktion schon in Energieeigenfunktionen zerlegt, du musst keine Koeffizienten mehr bestimmen (die braucht man ja nur, um die Zerlegung zu bestimmen). Du brauchst einfach nur jeden Summanden mit dem zeitabhängigen Phasenfaktor zu versehen:

\[\Psi(x,t)=\sqrt\frac{8}{5a}\e^{-\i E_1 t/\hbar}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)+\sqrt\frac{2}{5a}\e^{-\i E_2 t/\hbar}\sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\]
\(\endgroup\)


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Baerchn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-11


also in meiner ersten Zeile hatte ich gar nicht ausmultipliziert, die Wurzel steht vor der Klammer. Ich gebe zu, dass man das mit richtigen Bruchstrichen besser hätte lesen können.

Okay mit meinen Koeffizienten kommt am Ende das gleiche raus, danke für den Tipp, dass man die gar nicht mehr berechnen muss.

Noch zwei kleine Zusatzfragen:
Der Erwartungswert der Energie ist dann einfach
\[
\sum{|a_n|^2 E_n} = \frac{8}{5a} \frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2} + \frac{2}{5a} \frac{4\hbar^2\pi^2}{2ma^2} = \frac{8\hbar^2\pi^2}{5ma^3}~?
\] Und wie viele Elektronen kann man in dem Zustand unterbringen? Ich würde sagen vier, zwei pro Energieniveau?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-11

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Ah, ja, ich hatte die erste Klammer übersehen, dann ist natürlich alles richtig.
Für den Energieerwartungswert brauchst du die genauen Koeffizienten allerdings doch, also du solltest die Normierungsfaktoren $\sqrt\frac2a$ nicht mit in die Koeffizienten zählen, die gehören zur Eigenfunktion dazu. Im Prinzip so:

\[\Psi(x,0)=\underbrace{\frac{2}{\sqrt5}}_{a_1}\underbrace{\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\dots)}_{\psi_1}+\underbrace{\frac{1}{\sqrt5}}_{a_2}\underbrace{\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\dots)}_{\psi_2}.\]
Der Erwartungswert ist dann $\frac{4}{5}E_1+\frac{1}{5}E_2$.

Zur Anzahl der Elektronen: du hast zwar Recht, dass du zwei Stück pro Zustand haben kannst. Wir haben hier aber nur einen einzigen, nämlich $\Psi$. Der ist zwar eine Superposition aus zwei Energieeigenzuständen, aber auch Superpositionen mehrerer Zustände sind immer noch nur ein Zustand. Wenn du vier Elektronen in diesen Zustand brächtest, dann hättest du vier Elektronen mit der gleichen Ortswellenfunktion, nämlich $\Psi$. Das kannst du durch verschiedene Spins nicht mehr ausgleichen.
\(\endgroup\)


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okay also nur zwei Elektronen.
Meine Rechnung war natürlich blöd, ich hatte ja die Koeffizienten eigentlich schon berechnet... also
\[
<E> ~= \frac{4}{5}E_1 + \frac{1}{5}E_2 = \frac{4}{5}\frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2} + \frac{1}{5}\frac{4\hbar^2\pi^2}{2ma^2} = \frac{4}{5}\frac{\hbar^2\pi^2}{ma^2}
\] danke, damit ist alles klar 👍



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