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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Wenn L/K endlich, dann ist L = K(a_1, ..., a_n)
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Universität/Hochschule J Wenn L/K endlich, dann ist L = K(a_1, ..., a_n)
Felixg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-10



Hallo, ihr bräuchte eine kleine Hilfe beim Beweis eines Satzes im Skript, den ich verstehen möchte.😄


Behauptung:

Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung, so ist $L/K$ algebraisch und es gilt $L = K(\alpha_{1}, \ldots,  \alpha_{n})$ für geeignete $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in L$.


Beweis:


Zu zeigen ist:

$(i)$ $L/K$ ist algebraisch

$(ii)$ $ L = K(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n})$.


Zu $(i)$
________

Den Beweis zu $(i)$ habe ich aus dem Skript.


Es sei $n := \vert L : K \vert$ der Grad der Körpererweiterung $L/K$ und es sei $\alpha \in L$ beliebig.

Die $n + 1$ Elemente $1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n} \in L$

müssen linear abhängig über $K$ sein.

______________________________________________________________________

Frage:

Warum müssen die Elemente $1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n} \in L$ abhängig über $K$ sein ?


Mein erster Anhaltspunkt war ein Korollar im Skript:

"Sei $L/K$ eine Körpererweiterung und $\alpha \in L$ sei algebraisch über $K$ mit $n = deg(\mu_{\alpha})$.

Dann ist die Menge $B = \{ 1, \alpha, \alpha^{2}, \ldots, \alpha^{n - 1} \}$ eine Basis von $K(\alpha)$ als $K$ - Vektorraum und $\vert K(\alpha) : K \vert = deg(\mu_{\alpha}) = n$."


Aber mein Korollar lässt sich nur anwenden, wenn $\alpha \in L$ algebraisch über $K$ mit $n = deg(\mu_{\alpha})$.

Aber wir dürfen für den Beweis nicht annehmen, dass $\alpha \in L$ algebraisch über $K$ ist.

Außerdem muss nicht unbedingt aus $\vert K(\alpha) : K \vert = n$ folgen, dass auch $deg(\mu_{\alpha}) = n$ gilt, oder ? Im Korollar wird nur die Umkehrung bestätigt.

______________________________________________________________________




Also gibt es eine nicht - triviale Linearkombination $a_{0} \cdot 1 + a_{1} \cdot \alpha + \ldots + a_{n} \cdot \alpha^{n} = 0$

und somit ist $0 \neq f = a_{0} + a_{1} \cdot t + \ldots + a_{n} \cdot t^{n} \in K[\; t \; ]$ ein Nicht- Null- Polynom in $K[\; t \; ]$ mit $f(\alpha) = 0$.

Also ist $\alpha$ algebraisch über $K$.




Zu (ii)
_______


Die $(ii)$ habe ich selber versucht zu lösen und bräuchte nur einen Feedback, ob meine Lösung passt🙂



Es bleibt zu zeigen, dass $ L = K(\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n})$ für geeignete  $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} \in L$ gilt.



"$\supseteq$"  Sei $M := \{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} \} \subseteq L$ eine Menge. Per Definition ist $K(M)$ der kleinste Zwischenkörper von $L/K$, der $M$ enthält.

Das heißt, dass $K(M)$ ein Teilkörper von $L$ ist. Also gilt $K(M) \subseteq L$.



"$\subseteq$"


Wählen wir $m = n$ und $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in L$ als $K$ - Vektorraumbasis von $L$.

Jedes Element in $L$ wird dann von den Elementen $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n} \in L$ erzeugt.


Die Menge $K(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n})$ enthält die Elemente $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$, also die Basis von $L$.

Und da $K(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n})$  ein Vektorraum über $K$ ist, liegen alle Linearkombinationen der Elemente $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ in  $K(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n})$.

Da jedes Element von $L$ von $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ erzeugt wird, liegt jedes Element von $L$ auch in $K(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n})$.

Damit gilt auch $L \subseteq K(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n})$



Passt das ? Ich bin davon überzeugt, aber es kann sein, dass ich mich auch irre.




Ich bedanke mich im Voraus.

Viele Grüße,

Felix



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo,

zu (i):
$L$ ist nach Voraussetzung ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum. $1,\alpha,\ldots, \alpha^n\in L$ sind $n+1$ Vektoren, also linear abhängig.

Dein Beweis von (ii) ist richtig.
\(\endgroup\)


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Felixg
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}}\)
Hallo, danke für deine Antwort!

2020-04-10 19:43 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

zu (i):
$L$ ist nach Voraussetzung ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum. $1,\alpha,\ldots, \alpha^n\in L$ sind $n+1$ Vektoren, also linear abhängig.

Dein Beweis von (ii) ist richtig.


Oh man, ich habe in einer komplett anderen Richtung gedacht. Jetzt macht alles Sinn. Vielen Dank!😁👍

Viele Grüße,

Felix
\(\endgroup\)


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