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Mathematische Physik » Distributionen » (Delta-) Distribution - verallgemeinerte Funktion
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Universität/Hochschule (Delta-) Distribution - verallgemeinerte Funktion
MaxLipps
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-04-25


Hi zusammen,

ich studiere Physik auf Lehramt, habe aber nicht Mathematik als 2. Fach und leider haben die Physik Lehramtsstudenten keine Mathe Vorlesung. Nun müssen wir aber einige Beweise auf einem Übungsblatt zur Atom- und Quantenphysik machen und ich stehe total auf dem Schlauch.

Es geht zuerst um folgendes:

Es gibt verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) f(x), die wie folgt definiert sind:

\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)F(x)dx= \lim \limits_{k \to \infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_k(x)F(x)dx \)

F(x) ist eine beliebig oft diffenrenzierbare Grundfunktion und soll ein geeignetes asymptotisches Verhalten haben, so dass alle Integrale existieren.
Die Delta-Funktion ist eine Spezialfall für den gilt:

\( \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)F(x)dx = F(0)  \)


Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Folge \(f_k(x) = \frac{sin(kx)}{\pi x} \) eine verallgemeinerte Funktion mit den Eigenschaften der Delta-Funktion definiert.


So weit zur ersten Aufgabe. Kann mir da jemand irgendeinen Hinweis geben, was zu tun ist? Wie gehe mit zum Beispiel mit F(x) um? Wie mache ich überhaupt so einen Beweis?




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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-25


Hey Max,

manchmal ist es hilfreich, wenn man die Aufgabe allgemeiner angeht.
Statt der speziellen Wahl
$$ x \mapsto \frac{1}{\pi} \frac{\sin x}{x}
$$ betrachten wir allgemeiner eine integrierbare Funktion
$$ h : \IR \to \IR.
$$ Wie wir im Weiteren sehen werden, ist es nützlich, noch die Normierung
$$ \int_{\IR} h(x) \, \text dx = 1
$$ zu fordern.
Wir erhalten die approximierende Dirac-Folge dann durch die Funktionen $(h_k)_{k \in \IN}$,
$$ h_k(x) = k \, h(k \, x), \quad x \in \IR.
$$
Beispiel:
$$ h(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2}, & |x| \leq 1, \\
0, & \text{sonst}.
\end{cases}
$$ Zeichne dir einmal ein paar Folgenglieder auf. Was beobachtest du? Was vermutest du bezüglich des Grenzwertverhaltens? Wie kann man das beweisen?

Sei $F: \IR \to \IR$ eine Funktion, die im Unendlichen "sehr schnell" abfällt (mathematisch präzise: eine Schwartz-Funktion).

Dann gilt
$$ \int_{\IR} h_k(x) F(x) \, \text dx
=
\int_{\IR} k \, h(k \, x) F(x) \, \text dx
=
\int_{\IR} h(x) F(x / k) \, \text dx.
$$ Warum gilt das letzte Gleichheitszeichen? Was passiert mit dem Term auf der rechten Seite für $k \to \infty$? Welche Rolle spielt die Normierung von $h$?
Wenn du die Fragen beantwortest hast, musst du nur noch zeigen, dass
$$ \int_{\IR} \frac{\sin x}{x} \, \text d x = \pi.
$$ Das solltet ihr behandelt haben oder als bekannt vorsetzen dürfen.

Viele Grüße
Torsten


[Verschoben aus Forum 'Integration' in Forum 'Distributionen' von piquer]



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MaxLipps
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-04-26


Danke erstmal für die Antwort!

Also so ganz konnte ich noch nicht folgen.

Du gehst von einer beliebigen Funktion

\[ h(x) \]
aus, welche die Bedingungen erfüllt:

\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(x) dx = 1 \]
Das wäre ja mit der Funktion in der Aufgabe gegeben. Warum muss das so sein?

\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{sin(kx)}{\pi x} dx = 1 \]
Was bedeutet nun diese Dirac Folge?

\[ h_k(x) = k h(kx) \]
Welche Funktion ist \( h_k (x) \) im allgemeinen Fall?

Du schreibst die ersten Glieder der Folge. Aber welche Folge meinst du? Allgemein also:

\[ h_1(x) = h(x);
h_2(x) = 2h(2x) \]
Und so weiter? Um das abzubilden nehme ich also die Funktion

\[ f_k(x) = \frac{sin(kx)}{\pi x} \]  ?

Meine Folge ist also:

\[ \frac{sinx}{\pi x} + \frac{2sin(2x)}{\pi x} + ... + \frac{ksin(kx)}{\pi x} \]
Dann geht die für \( x \to \infty \) gegen 0 mit einem peak im Ursprung, oder? Wie beweise ich das?


Und welche Funktion ist nun F(x)? Ist diese unabhängig von f(x) oder ist damit eine Stammfunktion gemeint?

Warum das letzte Gleichheitszeichen gilt kann ich nicht beantworten. Ich kenne ja F(x) nicht aber für \( k \to \infty \) steht dort natürlich F(0)



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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-26



Du gehst von einer beliebigen Funktion
\[ h(x) \] aus, welche die Bedingungen erfüllt:
\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(x) dx = 1 \] Das wäre ja mit der Funktion in der Aufgabe gegeben. Warum muss das so sein?
Wenn das Integral über die Funktion nicht 1, so erhält man am Ende ein Dirac-Delta, das mit dem Integralwert multiplitziert wird,
\[
\int_{\IR} h_k \, F \, \text dx \to F(0) \int_{\IR} h \, \text dx, \quad k \to \infty.
\]

Was bedeutet nun diese Dirac Folge?
\[ h_k(x) = k h(kx) \] Welche Funktion ist \( h_k (x) \) im allgemeinen Fall?
Ich verstehe nicht, was du damit meinst. Du startest mit einer integrierbaren Funktion $h$, deren Integral 1 ergibt und bildest, wie von mir beschrieben, die Funktionen $h_k$. Diese entstehen aus $h$ durch Skalierung des Arguments und Skalierung des Funktionswerts. Hast du probiert, diese für mein Beispiel zu skizzieren?


1. Meine Folge ist also:

\[ \frac{sinx}{\pi x} + \frac{2sin(2x)}{\pi x} + ... + \frac{ksin(kx)}{\pi x} \]
2. Dann geht die für \( x \to \infty \) gegen 0 mit einem peak im Ursprung, oder? Wie beweise ich das?
1. Nein, das stimmt nicht. Man bildet nicht die Summe über diese Funktionen. Stattdessen integrierst du die reskalierten Funktionen mit einer Testfunktion $F$ und schaust dir das Ergebnis an:
\[
a_k = \int_{\IR} h_k(x) F(x) \, \text dx, \quad k \in \IN.
\] Diese Folge $(a_k)_{k \in \IN}$ ist nun eine reelle Folge. Konvergiert $(a_k)_{k \in \IN}$ gegen $F(0)$ für jede Wahl von $F$, so sagt man, dass die Folge der Funktionen $(h_k)_{k \in \IN}$ gegen das Dirac-Delta konvergieren.

2. Das ist die Intuition. Dieses Verhalten wird mathematisch durch den in 1. erwähnten Grenzwertprozess definiert.



Und welche Funktion ist nun F(x)? Ist diese unabhängig von f(x) oder ist damit eine Stammfunktion gemeint?
Die Funktion $F$ hat nichts mit $f$ zu tun. Im Rahmen der Distributionentheorie nennt man solche Funktionen Testfunktionen. Üblicherweise sind das glatte Funktionen, so dass man sie etwa beliebig differenzieren oder integrieren kann.


Warum das letzte Gleichheitszeichen gilt kann ich nicht beantworten.
Das ist der einfachste Teil der Aufgabe. Erinnere dich ans erste Semester. Stichwort: Substitutionsregel.


Ich kenne ja F(x) nicht aber für \( k \to \infty \) steht dort natürlich F(0)
Das Ergebnis stimmmt. Deshalb "wirkt" $(h_k)_{k \in \IN}$ im Grenzfall wie das Dirac-Delta. Der Clou ist gerade, dass man nicht wissen muss, wie $F$ "aussieht". Vielmehr ist es eine sehr allgemeine Aussage. Nicht mehr als die Punktauswertung von $F$ in $0$ ist nötig.



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