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Universität/Hochschule Rechenregel zu negativen Zahlen innerhalb von Beträgen
feldmaus
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Dabei seit: 10.04.2008
Mitteilungen: 18
  Themenstart: 2020-04-30

Guten Tag, ich bin dabei eine Grenzwertberechnung durchzuführen, die sich bei der Ermittlung der Konvergenz einer unendlichen Reihe mittels Wurzelkriterium ergeben hat. Dabei habe ich an einer bestimmten Stelle(siehe mathematischen Ausdruck Nummer 7) Verständnisprobleme zu den Regeln von Beträgen, bzw. wie ich mit ihnen umgehen kann. \( \begin{align} a_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^{-n^2} \\ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|} = q \ll 1 \\ \end{align} \) einsetzen von (1) in (2), \( \begin{align} \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\left( \frac{n+1}{n} \right)^{-n}\right)^n\right|} = \lim \limits_{n \to \infty} \left|\left( \frac{n+1}{n} \right)^{-n}\right| = \lim \limits_{n \to \infty} \left|\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{-n}\right| \\ \end{align} \) hier wenden wir die Grenzwertregel von Bernoulli und de l'Hospital an, \( \begin{align} \lim \limits_{n \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{f(x)'}{g(x)'} \end{align} \) und nutzen dazu die elementaren Umformungen, \( \begin{align} z = e^{ln(z)} \\ ln\left(u^n\right) = n \cdot ln\left( u \right) \\ \end{align} \) damit erhalten wir durch einsetzen von (3) in (5) und (6), \( \begin{align} \lim \limits_{n \to \infty} \left|\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{-n}\right| = \lim \limits_{n \to \infty} e^{ln\left(\left|\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{-n}\right| \right)} = \lim \limits_{n \to \infty} e^{-n \cdot ln\left(\left|\left( 1+ \frac{1}{n} \right)\right| \right)} \\ \end{align} \) und ab diesem Punkt fehlt mir das Verständnis für die Betragsstriche. Darf ich "-n" ohne Beachtung des Betrages vor "ln" schreiben? Oder muss ich die Betragsstriche erweitern auf den kompletten mathematischen Ausdruck? Oder kann ich die Betragsstriche komplett weg lassen, da e^(irgendwas) immer positiv ist. Grüße


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Caban
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-30

Hallo Du kannst die Betragsstriche komplett weglassen, sie bewirken nichts. Gruß Caban


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