Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von matroid
Mathematik » Numerik & Optimierung » Ordnung durch Fehlertabelle bestimmen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Ordnung durch Fehlertabelle bestimmen
tom1801
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.06.2017
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-01


Hallo zusammen,

ich habe eine relativ einfache Frage zum Thema Ordnung eines Fehlers. Leider stehe ich selber gerade etwas auf dem Schlauch.

h      Fehler

1      0.4
1/2    0.025
1/4    1.56*10^-3
1/8    9.77*10^-5

Mir ist soweit bekannt, dass wenn sich die Schrittweite halbiert und der Fehler immer um den Faktor 1/16 kleiner wird, dass die Ordnung dann O(h^4) ist.

Angenommen die Schrittweite wird nicht um die Hälfte kleiner, sondern um 1/3 und der Fehler bleibt wie oben bei 1/16.

h      Fehler

1      0.4
1/3    0.025
1/9    1.56*10-3
1/27   9.77*10^-5

Lässt sich dann die Ordnung wie folgt berechen?

(1/3)^x=1/16
log1/3(1/16)= etwa 2.5 also ist der Fehler Ordnung O(h^2.5)?

Schöne Grüße
Tom



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Monom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.05.2015
Mitteilungen: 99
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-25


Hallo tom1801,

es wird hier eine Beziehung der Form
$$ E(h) = C h^k $$ angenommen, wobei $k$ die Ordnung bezeichnet, $E$ der Fehler ist, $C > 0$ eine beliebige Konstante und $h \in (0,1)$ vermutlich eine Gitterweite.

Aus zwei beliebigen Punkten $(h_1, E_1)$ und $(h_2, E_2)$ lässt sich daher $k$ schätzen:
$$\begin{align*} E_1 = E(h_1) &= C h_1^k, \\
E_2 = E(h_2) &= C h_2^k.\end{align*}$$ Wir formen die zweite Gleichung nach $C$ um und setzen in die erste ein:
$$ E_1 = \frac{E_2}{h_2^k} h_1^k, \qquad \frac{E_2}{h_2^k} = C. $$ In der ersten Gleichung wird jetzt logarithmiert:
$$ \ln(E_1) = \ln\left(\frac{E_2}{h_2^k}\right) + \ln\left(h_1^k\right) = \ln(E_2) - k \ln(h_2) + k \ln(h_1).$$ Auflösen nach $k$ ergibt
$$ k = \frac{\ln(E_1)- \ln(E_2)}{\ln(h_1) - \ln(h_2)} = \frac{\ln\left( \frac{E_1}{E_2}\right)}{\ln\left( \frac{h_1}{h_2}\right)}. $$
Mit den Zahlen aus Deiner zweiten Tabelle komme ich für die letzten beiden Zeilen also auch auf $k \approx 2.5$ und damit zu einer Fehlerordnung von $O(h^{2.5})$.

Viele Grüße
Monom



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tom1801
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.06.2017
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Hallo Monom,

vielen Dank für die sehr gute Antwort!
Jetzt hab ich es verstanden, danke dir.

Gruß
Tom



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6421
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-25


Man sollte beachte, dass die Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens typischerweise ganzzahlig ist. Berücksichtigt man nur zwei Datenpunkte, dann können Terme höherer Ordnung das Ergebnis natürlich verfälschen.
Man sollte sich also mehr Daten anschauen, um besser zu sehen, wohin die Reise geht.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tom1801 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]