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 Zinseszins mit geometrischer Reihe berechnen |
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retsiwt
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 |  Themenstart: 2020-05-06
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Hallo,
das Thema Zinseszins und Investition ist mir bekannt. Es geht aber darum die Aufgabe nicht mit der bekannten Formel, sondern mithilfe der geometrischen Reihe zu lösen.
Bei z.B. einem Anfangskapital von 5000 Euro, einem Zinssatz von 5% und einer Laufzeit von 2 1/2 Jahren (Zinsen werden jeweils am Ende des Jahres gutgeschrieben) kommt man auf einen Endbetrag von
(1,05)^2,5 * 5000
Da bei der geometrischen Folge der Quotien zweier benachbarter Folgenglieder gleich ist, kann man es hier anwenden (Multiplikator ist 1 + 0.05).
Wie lässt sich das mit einer geometrischen Reihe darstellen?
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Caban
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-06
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Hallo
Meinst du geometrische Folge oder geometrische Reihe?
Gruß Caban
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retsiwt
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-06
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Ich meine die geometrische Reihe, also die Reihe einer geometrischen Folge.
Kann ich für diese Aufgabe diese Formel nutzen?
Oder geht das auch über Partialsummen?
a_k = a_0 * q^k
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Caban
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-06
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Hallo
Wie lautet die Orginalaufgabe?
Gruß Caban
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retsiwt
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-06
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Für ein Anfangskapital von 5000 Euro, einen Zinssatz von 5% und einer Laufzeit von 2 1/2 Jahren (Zinsen werden jeweils am Ende des Jahres gutgeschrieben) soll das Endkapital berechnet werden.
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Caban
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-06
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Hallo
Dann ist das eine aufgabe wo Folgen geeignet sind, keine Reihen.
Gruß Caban
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retsiwt
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-06
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In der Aufgabe wird von der geometrischen Reihe gesprochen, aber ist die oben angesprochene Formel dann hier anwendbar?
Neben dem Endkapital soll auch noch der Prozentsatz berechnet werden, der notwendig ist, damit sich das Kapital in einem bestimmten Zeitraum verdoppelt. Dafür kann man die Formel einfach umstellen.
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Caban
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| Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-06
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Hallo
In der Orginalaufgabe in Beitrag 4 steht nichts von Reihe. Bei dem Prozentsatz kannst umstellen, das stimmt.
Gruß Caban
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retsiwt
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-06
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Die geometrische Reihe steht in der übergeordneten Aufgabe.
Dann folgen die Teilaufgaben, bei denen man zum einen das Endkapital für die gegebenen Größen berechnen soll und zum anderen den Prozentsatz.
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DerEinfaeltige
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-06
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Die geometrische Reihe benötigt man bspw. für die Rentenrechnung, also wenn pro Monat oder Jahr zusätzlich ein Festbetrag eingezahlt wird.
Daher kann man natürlich auch den einfachen Zinseszins damit berechnen.
Das wäre allerdings genauso trivial wie sinnlos.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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retsiwt
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-06
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Was meins du mit trivial? Laut der Aufgabenstellung soll man das ja nutzen. @DerEinfaeltige
Und gilt im Fall von 2,5 Jahren, dass man für k = 2 einsetzt, da Zinsen nur am Ende eines vollen Jahres gutgeschrieben werden?
Und zum anderen habe ich noch eine Aufgabe, bei der es darum geht, Angebote zu vergleichen. Ob es bei einem Kalkulationszinssatz von 7% pro Jahr bei der Anschaffung günstiger ist, sofort 5000 Euro zu zahlen und 9000 Euro in 2 Jahren oder sofort 3000 Euro und 12500 Euro in 4 Jahren.
Wie geht man an diese Aufgabe heran?
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dietmar0609
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 | Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-06
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Schreib dir doch mal hin, was aus den 5000 Euro am Ende des 1. 2. und 3. (bzw. 2,5) Jahres entstanden sind.
Die Aufgabe ist etwas irreführend gestellt, da im 3.Jahr nur ein halbes Jahrverzinst wird , das angesparte Kapital aber erst am Jahresende ausgezahlt wird. Das ist m.E. nicht realistisch.
Gruss Dietmar
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retsiwt
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-06
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Jahr 1: 5250 Euro
Jahr 2: 5512,5 Euro
Jahr 3: 5788, 125 Euro
Ich verstehe es so, dass nach 2,5 Jahren die Zinsen des 3. Jahres noch nicht einbezogen sind (also k = 2). Wie kann man das jetzt aber als geometrische Reihe darstellen?
Als Folge ist es ja einfach nur
a_k = a_0 * q^k
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dietmar0609
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| Beitrag No.13, eingetragen 2020-05-06
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Du hast das 3. Jahr voll verzinst. Das ist falsch.
Das 3. Jahr verzinst sich linear mit 5% über 6 Monate. hier ist dein q=1,025
Du kannst hier m.E. nicht mit einer geschlossenen Formel arbeiten.
Gruss Dietmar
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retsiwt
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-06
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Die vollständige Formulierung ist:
Die jährlichen Zinsen werden dem Kapital am Ende des Sparjahres gutgeschrieben und von da an mit diesem verzinst. Auf welchen Betrag wächst das Kapital an?
Das soll mit der geometrischen Reihe gelöst werden.
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dietmar0609
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| Beitrag No.15, eingetragen 2020-05-06
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Wenn ich das richtig verstehe, wird das Kapital im 3. Jahr 6 Monate verzinst und bleibt dann unverzinst bis zum Jahresende liegen. Die Zinsen der 6 Monate werden aber erst am Jahresende gutgeschrieben.
Wenn das so ist, ist die Entwicklung des Kapitals so:
K_0 = 5000.- = 5000
k_1 = 5000*1,05 = 5250
k_2 = 5000*1,05*1,05 = 5512.50
K_3 = 5000*1,05*1,05*1,025 = 5650.31
Verschieb das mit der geometrischen Reihe mal auf morgen. Bei einfacher Kapitalverzinsung haben wir es mit einer geometrischen Folge zu tun.
Gruss Dietmar
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retsiwt
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-07
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Danke, aber ich weiß immer noch nicht genau, was als Lösung für diese Aufgabe erwartet wird. Es heißt: "Lösen Sie unter Verwendung der geometrischen Reihe".
Ist die Folge, die ich angeben habe richtig, wenn man die 6 Monate ignoriert?
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dietmar0609
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| Beitrag No.17, eingetragen 2020-05-07
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Für die beiden ersten Jahre kannst du die die Formel aus Beitrag 12 anwenden:
n=2 . Bei n=3 verzinst du aber 3 volle Jahre, was aber falsch ist.
k_2,5 = 5000*(1,05)^2,5= 5648.63 auch falsch
K_3 = 5000*1,05*1,05*1,025 = 5650.31 richtig
Gruss Dietmar
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retsiwt
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-07
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Ok, dann beantworte ich das so.
Wie ist das aber hier: "Ist es bei einem Kalkulationszinssatz von 7% pro Jahr bei der Anschaffung günstiger, sofort 5000 Euro zu zahlen und 9000 Euro in 2 Jahren oder sofort 3000 Euro und 12500 Euro in 4 Jahren."
Hier kann man mit vollen Jahren rechnen. Ich verstehe aber das Prinzip vom Kalkulationszinssatz noch nicht.
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haegar90
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 | Beitrag No.19, eingetragen 2020-05-07
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Hallo,
schick mal eine Originalaufnahme (Foto) von der Aufgabe. Und ist der Hintergrund der Aufgabe die Anwendung von Folgen und Reihen oder eher finanzmathematisch ?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]
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retsiwt
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-07
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Es geht um Folgen und Reihen, aber damit ich das anwenden kann, muss ich erstmal das Grundprinzip des Kalkulationszinssatzes verstehen.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52586_Unbenannt.PNG
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dietmar0609
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| Beitrag No.21, eingetragen 2020-05-07
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Errechne in beiden Fällen den Barwert deiner Zahlungen "heute" und vergleiche sie.
Für den ersten Fall: 5000.- + das , was die 9000 in 2 Jahren heute wert wären.
Gruss Dietmar
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]
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retsiwt
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-07
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Aber worauf bzw. wie wird der Kalkulationszinssatz angewendet?
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dietmar0609
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| Beitrag No.23, eingetragen 2020-05-07
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erster Fall:
aus welchem Kapital ist nach 2 Jahren bei 7% Prozent Zins 9000 Euro geworden?
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retsiwt
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-07
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Okay, aber dafür muss doch einfach nur die Folge nach a0 umgestellt werden:
9000 = a_0 * 1,07^2
Das ergibt: a0 = 7860,9
Also Angebot 1: 5000 + 7861 = 12861
Wo wird dann die geometrische Reihe angewendet?
Bei der zweiten Teilaufgabe soll dann ein Kalkulationszinssatz bestimmt werden, für den beide Bargeldwerte gleich sind.
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dietmar0609
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| Beitrag No.25, eingetragen 2020-05-07
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richtig !
Rechne Angebot 2 aus und du wirst finden, dass Angebot 2 besser ist.
Vergiss deine geometrische Reihe hier. Sie hat hier nichts zu suchen. Die geometrische Reihe kommt bei wiederholten Zahlungen, z.B. Renten, ins Spiel .
Gruss Dietmar
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dietmar0609
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| Beitrag No.26, eingetragen 2020-05-07
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Die 2. Teilaufgabe machen wir morgen.
Dietmar
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dietmar0609
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| Beitrag No.27, eingetragen 2020-05-07
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Teilaufgabe 2:
Schreib dir doch mal beide Angebote für ein unbekanntes q (nach dem Zinssatz ist gefragt) auf und setze sie gleich. Dies führt zu einer biquadratischen Gleichung in q, die sich aber relativ einfach lösen lässt.
Gruss Dietmar
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