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Strukturen und Algebra » Ringe » Endlich erzeugte boolesche Unteralgebra ist endlich
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Universität/Hochschule Endlich erzeugte boolesche Unteralgebra ist endlich
Silenus
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Dabei seit: 14.11.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-07


Hallo,

ich soll zeigen, dass jede endlich erzeugte Unteralgebra einer booleschen Algebra endlich ist. Habt ihr eine Idee, wie man den Beweis angehen könnte, und zwar nach Möglichkeit ohne Rückgriff auf Atome und Isomorphie zur Potenzmengenalgebra (Atome werden erst in einer späteren Aufgabe eingeführt)?

Vielen Dank
Silenus



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Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4727
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-11


Wenn $R$ ein endlich-erzeugter boolescher Ring ist, wählen wir ein Erzeugendensystem $x_1,\dotsc,x_n$. Dann kann man sich leicht überlegen, dass

$\bigl\{x_T : T \subseteq \{1,\dotsc,n\}\bigr\}$

ein Erzeugendensystem von $R$ als $\IF_2$-Vektorraum ist, wobei $ x_T := \prod_{t \in T} x_t$. Insbesondere ist $R$ endlich (genauer gesagt hat $R$ höchstens $2^{2^n}$ Elemente.)




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