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Universität/Hochschule J Zusätzliche Bedingungen bzw. gewünschtes Verhalten für Differentialgleichung
crepes12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-08


Hallo,

Es geht so ein bisschen in Richtung Reaktions-Kinetik. Aber das ist nur der Rahmen der eigentlichen Frage. Ich versuche das hier ein bisschen als halbwegs allgemeines Minnimalbeispiel zu beschreiben.

Wir haben 3 Größen, die bei einem Prozess mit einer Umsetzungsgeschwindigkeit

\[ v = c_1 + c_2 - c_3\]
sich so entwickeln, dass sich am Ende, also im Gleichgewicht mit \(v=0\), schließlich

\[c_1 + c_2 - c_3= 0\]
einstellt. Das geht z.B. über die DGLen

\[
\frac{\partial c_1}{\partial t} = -v \\
\frac{\partial c_2}{\partial t} = -v \\
\frac{\partial c_3}{\partial t} = v.
\]
Hierbei werden im Grunde die Größen \(c_1\) und \(c_2\) "verbraucht" und \(c_3\) entsteht. \(t\) ist hier die Zeit, über die ich hier anschließend mal integriert habe (Eulerverfahren) mit Anfangswerten

\[
c_1 = 0.1 \\
c_2 = 0.5 \\
c_3 = 0.0.
\]
Plot:



Jetzt würde ich aber gerne eine Entwicklung haben, die keine negativen Werte (eigentlich für alle, aber hier mal bspw. für \(c_1\)) zulässt. Da käme ja beispielsweise


\[ v = c_1(c_1 + c_2 - c_3)\]
in Betracht, wo eine der Nullstellen dann \(c_1=0\) ist. Was an sich gut ist, aber nicht so ganz das was ich im Moment möchte. Aussehen tut es wie folgt:



Allerdings ist hier ja auch der Bereich beeinflusst bevor das "ursprüngliche Modell" Null durchquert hat, was ja auch logisch ist. Ich stelle mir eher sowas wie folgendes vor



also der Beginn identisch wie die erste Version und anschließend keiner weiteren Entwicklung. Das habe ich hier jetzt künstlich eingebaut, indem ich innerhalb der Euler-Implementierung einfach mit einer if-then-Abfrage eine Geschwindigkeit zu Null erzwungen habe.

Nun liesse sich vermutlich auch die Geschwindigkeit bei dem zweiten Plot mit einem zusätzlichen konstanten Vorfaktor so skalieren, dass es ein bisschen mehr dem dritten Plot entspricht. Aber das ist auch nicht so zufriedenstellend.

Gibt es "saubere" Methoden, um sowas wie bei dem dritten zu erzwingen? Ich glaube der Knick da bei Erreichen von Null ist bei mir sogar erwünscht.

Leider recht lang geworden...



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-09

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo crepes12,

so ganz klar ist mir noch nicht, was du da genau modellieren möchtest. Die für mich am wenigsten klare Formulierung die der Umsetungsgeschwindigkeit, also $v=c1+c2-c3$. Diese Gleichung impliziert identische Einheiten für $v$ und die drei $c_i$. Allerdings impliziert die Ratengleichung $\partial_t c_1 = -v$ unterschiedliche Einheiten.

Wenn du nicht möchtest, dass eine Konzentration $c_i$ negativ wird, kannst du das kompakt in der Dgl., z.B. durch $$\partial_t c_1 = -v \cdot\varTheta(c_1), $$erreichen, wobei mit $\varTheta(x)$ die Sprungfunktion gemeint ist.

Was mich wundert ist auch die Form der Kurven, die du für die $c_i(t)$ erhältst. Es sollten eigentlich lineare Funktionen sein, so wie du es auch erwarten würdest.

Zurück zur Modellierung: Möchtest du soetwas wie $A+B\rightarrow C$ modellieren? Das würde nach deiner dritten Grafik am meisten Sinn für mich ergeben. Dann musst du noch berücksichtigen, dass die Reaktion nur abläuft wenn noch beide Edukte, also A und B, vorhanden sind.

Man könnte es zum Beispiel so machen, wobei ich die Reaktionsrate k eingeführt habe: $$\partial_t c_1(t) = -k \varTheta(c1)\varTheta(c2)\\ \partial_t c_2(t) = -k \varTheta(c2)\varTheta(c1) \\ \partial_t c_3(t) = \frac12 (-\partial_t c_1(t) - \partial_t c_2(t))\varTheta(c_3)
= k\varTheta(c1)\varTheta(c2)\varTheta(c3). $$
Die Sprungfunktionen sorgen dafür, dass die Reaktion nur abläuft, wenn sowohl A und B zur Verfügung stehen, sonst ist die Änderungsrate $\partial_t c_i(t)=0 $. Obwohl in diesem Modell $c_3(t)$ niemals negativ werden kann habe ich einfach aus Symmetriegründen diesen Faktor noch hinzugefügt. Der Vorfaktor $\frac12$ spiegelt die Tatsache wider, dass eine Einheit A und eine Einheit B genau eine Einheit C ergeben.

Nach numerischer Integration (einfaches Euler-Vorwärts Verfahren) ergibt sich folgendes Bild.


Wie man sehen kann endet die Reaktion nachdem die Konzentration eines Stoffes von 0.1 auf 0 gefallen ist. Weder ändert sich danach die Konzentration des anderen Edukts noch des Produkts.  

Viele Grüße
OS


-----------------
If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


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crepes12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-09


Hallo Orangenschale,

und vielen Dank für die Mühe.

Ja da hast du schon Recht, dass die Einheiten da nicht zusammenpassen. Da macht ein Parameter wie das \(k\) schon Sinn. Und ist ja auch üblich mit dem \(k\). Hatte ein bisschen zu eifrig reduziert.. Hatte alles möglichst auf "1" gesetzt und dabei die Einheiten ignoriert

Also ich würde da schon den nichtlinearen Verlauf erwarten... Wenn ich jetzt mal wieder reduziere (und bei meiner Notation bleibe) und mir soetwas wie

\[\frac{\partial c_1}{\partial t} = c_1\]
anschaue, dann wird ja die Geschwindigkeit immer größer, je größer die Konzentration wird. Die Konzentration wächst ja hier dadurch dann z.B. exponentiell, wenn mich nicht alles täuscht.

Linear sollte es doch eigentlich nur verlaufen, wenn die "rechten Seiten" konstant sind.. das wären die ja in meinem Ausgangsbeispiel mit

\[
\frac{\partial c_1}{\partial t} = -v \\
\frac{\partial c_2}{\partial t} = -v \\
\frac{\partial c_3}{\partial t} = v
\]
nur für den Fall, dass \(v = c_1 + c_2 + 2c_3\) anstatt \(v = c_1 + c_2 - c_3\). Mit dem Faktor 2 bin ich mir gerade nicht sicher. Aber da spiele ich auch auf die \(1/2\) an, die du bei dir ja wegen der Reaktionsgleichung verwendet hast.

Ja, das mit der Sprungfunktion könnte ich im Hinterkopf behalten.

Zur Motivation meiner Gleichungen im Startbeitrag: Ich versuche derzeit auf eine etwas unkonventionelle Weise eine Reaktionsrate "herzuleiten". Dabei ist dieses unübliche \(v = c_1 + c_2 - c_3\), bzw. etwas ähnliches, entstanden Dann wollte ich mir das irgendwie zurechtbiegen und zurechtbrechen, damit es funktioniert 😃



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Orangenschale
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\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo crepes12,

ich hatte $v$ als irgendetwas Konstantes interpretiert, gut dass das nun geklrt ist. Ich verstehe deine Gedankengänge trotzdem noch nicht, also ich weiß nicht so recht, was du dir da ausgedacht hast.

Viele Grüße
OS


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P.A.M. Dirac
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crepes12
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-12


Hallo nochmal,

Für das was ich vorhatte wird das mit der Sprungfunktion hinreichend sein.

Allerdings habe ich die ursprüngliche Formulierung nun eh verworfen weil ich etwas übersehen hatte..

Ich markiere den Thread nun als gelöst.

Danke



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