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Universität/Hochschule Polyeder und Polytope
felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-10


hallo, ich bearbeite die Aufgabe seit 3 Stunden und finde keinen Weg....

ich kenne die Definition von Polyeder und Polytop. aber wie kann man beweisen, ob eine menge Polyeder oder Polytop ist?

Danke im Voraus




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

b) und c) kann man doch durch 'scharfes Hinsehen' beantworten.

Zur a): sicher, dass du da die Relationen bei den Restriktionen für \(x_3\) richtig herum hast?

Für den Fall muss ein wenig herumrechnen.

Wenn das alles so stimmt, dann kommt alles einmal vor: Polytop, Polyeder und keines von beidem...


Gruß, Diophant


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felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-05-10 14:23 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

b) und c) kann man doch durch 'scharfes Hinsehen' beantworten.

Zur a): sicher, dass du da die Relationen bei den Restriktionen für \(x_3\) richtig herum hast?

Für den Fall muss ein wenig herumrechnen.

Wenn das alles so stimmt, dann kommt alles einmal vor: Polytop, Polyeder und keines von beidem...


Gruß, Diophant


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danke dass du mich antwortest. Aber wie kann man den Beweis genauer schreiben? kannst du vielleicht genauer erklären? bei meinem Skript steht die Definition von Polyeder : P ⊆ Rn heißt (konvexes) Polyeder, falls eine Matrix A ∈ R^(m×n) und ein Vektor b∈R^m existieren,sodaß P={x∈Rn :Ax≤b}.

hier weiß ich nicht wie ich diese definition verwenden kann.....
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

diese Definitionen haben ja auch jeweils eine geometrische Deutung. Ich hätte jetzt vermutet, dass es hier ausreicht, mit diesen geometrischen Sachverhalten zu argumentieren. Schau mal in dieses kurze Skript.

Und schaue dir bei b) und c) jeweils die Mengen ganz genau an.

Zur a): was wäre denn die Punktmenge, die man bekommt, wenn man nur die beiden ersten Restriktionen berücksichtigt, also \(|x_1|\le 2\wedge |x_2|\le 2\)? Ich habe mir das geometrisch veranschaulicht und dann überlegt, an welchen Stellen \((x_1,x_2)\) man die beiden anderen Restriktionen überhaupt noch betrachten muss...

Wie gesagt: hier alles nach wie vor unter dem Vorbehalt, dass die Aufgabe a) richtig wiedergegeben ist, was die Richtung der Relationen angeht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-10


Ich dachte, dass alle Polytope Polyeder sind. Es ginge dann nur darum, welche Mengen Polytope sind und welche nicht, oder?

Vor einigen Jahren hat es da eine Art "Definitionskrieg" gegeben. Was ist deine Definition von Polytop?


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/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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Kitaktus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-11


Was genau mit "Polyeder", "Polytop" oder "polyedrische Menge" gemeint ist, hängt immer vom Autor ab. Die Begriffe werden zwar ähnlich, aber nicht einheitlich verwendet [muss die Menge konvex sein, muss sie beschränkt sein, muss sie dreidimensional sein].
Mit der Definition für Polyeder kannst Du gut arbeiten. Die Aufgabe besteht darin, die Mengenangaben, bei denen das Möglich ist, so umzuschreiben, wie es die Definition für "Polyeder" vorsieht.
In einem der Fälle ist das nicht möglich. Der "erfahrene Mathematiker" "sieht", dass das nicht geht. Für einen Beweis braucht man noch irgendein Zusatzwissen über Polyeder, z.B. dass Polyeder abgeschlossen sind.



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felix0429
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-11


2020-05-10 19:26 - Goswin in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich dachte, dass alle Polytope Polyeder sind. Es ginge dann nur darum, welche Mengen Polytope sind und welche nicht, oder?

Vor einigen Jahren hat es da eine Art "Definitionskrieg" gegeben. Was ist deine Definition von Polytop?

hallo  
genau alle Polytope sind auch Polyeder.  aber wie kann man den Beweis führen?

Bei mir steht die Definition von Polytop: P ⊆ R^n heißt Polytop, wenn es die konvexe Hülle endlich vieler Punkte in R^n ist.

Mit freundlichen Grüßen
Felix



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-11


2020-05-11 14:59 - felix0429 in Beitrag No. 6 schreibt:
Bei mir steht die Definition von Polytop: P ⊆ R^n heißt Polytop, wenn es die konvexe Hülle endlich vieler Punkte in R^n ist.

Hallo Felix,

dann gilt doch folgendes:

Ein Polyeder ist genau dann ein Polytop, wenn es beschränkt ist. (Das muss natürlich bewiesen werden, vielleicht wurde das in der Vorlesung gemacht.)

Wenn du also zeigen kannst, dass \(P_1\) ein beschränktes Polyeder ist, dann ist es ein Polytop.



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