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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Bestimmung aller Endomorphismen, die Beziehungen erfüllen
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Universität/Hochschule J Bestimmung aller Endomorphismen, die Beziehungen erfüllen
MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-11


EDIT: Habe beim kgV ein x vergessen - tut aber nicht zur Sache bei

Leider habe ich ein par Probleme mit folgender Aufgabe. Wäre dankbar über Hinweise.
Bestimmen Sie alle $f \in End_K(V)$, welche die Beziehungen $f^3-3f^2+2f=0$ und $f^8+16f^4=0$ erfüllen.
Meine Idee:
Kleinstes gemeinsames Vielfaches der beiden Beziehungen bestimmen und Begleitmatrix M aufstellen.:
$$ kgV((x^3-3x^3+2x),(x^8+16x^4)) = kgV((x(x-2)(x-1)),(x^4(x^4+16))) = (x-2)(x-1)x^3(x^4+16)$$ $$ = (x^5-3x^4+2x^3)(x^4+16)=  x^9-3x^8+2x^7+16x^5-48x^4+32x^3
$$ $$ \Rightarrow M=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 48 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -15
\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3
\end{pmatrix} $$

Der Endomorphismus, der durch diese Matrix (zu einer beliebigen Basis - stimmt das mit der beliebigen Basis überhaupt? Ich denke schon, denn das charakteristische Polynom ist ja unabhängig von der Basis) repräsentiert wird, erfüllt beide Beziehungen und hat den errechneten kgV gerade als Charakteristisches- und Minimalpolynom .
Es sollte dann eigentlich keine "kleineren" Matritzen (Repräsentanten für Endomorphismen) geben, die beide Beziehungen erfüllen, da das Minimalpolynom dieser "kleineren" Matritzen zu niedrigen Grad hätte.
Auch Potenzen und Linearkombination dieser Matrix erfüllen die Beziehungen im Allgemeinen nicht.
Aber man könnte zu dem kgV beliebige Polynom hinzumultiplizieren und die Begleitmatrix des Produkts müsste beide Beziehungen erfüllen. Dann gibt es ja noch unendlich viele Endomorphismen mehr die beide Beziehungen erfüllen.


Gehen meine Überlegungen in die richtige Richtung? Vielen Dank im Voraus!

LG MaxIMP2415



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-11

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Hallo MaxIMP2415,

erstmal, was ist überhaupt $V$? Hier scheint es $K^9$ zu sein, wenn ich mir die Matrix anschaue, aber das ist für mich ansonsten nicht ersichtlich.

Dann zu deinem Vorgehen: Das Minimalpolynom einer Matrix ist ja dadurch charakterisiert, dass es jedes andere Polynom teilt, welches den Endomorphismus zu 0 macht. Ausschlaggebend ist also, dass das Minimalpolynom von $f$ beide Polynome teilen muss. Wenn dein Minimalpolynom das kgV der beiden Polynome ist, dann wird $f$ eben nicht mehr von dessen Teilern auf 0 abgebildet.
Du suchst also alle gemeinsamen Teiler (nicht nur den größten), und brauchst dann alle Matrizen, welche einen dieser Teiler als Minimalpolynom haben.
Dazu würde ich versuchen, die Jordan-Normalenform mit dem jeweiligen Minimalpolynom zu finden. Die restlichen Matrizen ergeben sich dann durch passende Basiswechsel.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-11


Danke für Deine schnelle Antwort!

Da hatte ich wohl einen Denkfehler, dass das Minimalpolynom ein Vielfaches beider Beziehungen sein muss... Natürlich muss es ein Teiler sein.

Der Vektorraum V ist ürbigens unbekannt ebenso wie seine Dimension, aber das ist dann ja auch egal,
weil - wenn ich es richtig sehe - f nur die Nullabildung sein kann, weil die beiden gegebenen Polynome keinen gemeinsamen Teiler haben.

Vielen Dank und liebe Grüße!



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-11

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Also ich sehe mindestens $X$ als gemeinsamen Teiler (und es müsste auch der einzige sein). Das führt aber auch auf die Nullabbildung.
\(\endgroup\)


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