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Universität/Hochschule J Konstruktion von Intervallen
Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-11


Guten Nachmittag an alle!😄

Mein momentanes Problem steckt in der folgenden Aufgabe aus meinem Analysis 1-Kurs:

"Sei $X\in \mathbb{R}$ eine Teilmenge mit folgender Eigenschaft: Für alle $x,y\in X$ und $c\in \mathbb{R}$ gilt $x\leq c\leq y\Rightarrow c\in X$. Zeigen Sie, dass X ein Intervall ist. Folgern Sie daraus, dass ein beliebiger Durchschnitt von Intervallen wiederum ein Intervall ist."

Nun habe ich den Fall $X=\emptyset$ schon ausgeschlossen, da $X$ sonst sowieso ein Intervall ist. Sei $X$ also insbesondere nicht leer. Dann definieren wir $x_0=\inf{X}$ und $y_0=\sup{X}$. Den Beweis für den Fall, dass $x_0$ und $y_0$ Elemente von X sind habe ich verstanden und sauber aufgeschrieben.
Dann habe ich den nächsten Fall in Betracht gezogen:

Sei nun also $x_0\notin X$, $y_0\in X$ und weiterhin $x_0\neq -\infty$. In den Musterlösungen wird nun folgendermassen argumentiert:

Betrachte ein beliebiges $c\in (x_0,y_0]$. Da $x_0$ das Infimum von $X$ ist, können wir $x_0$ beliebig genau von oben durch Elemente aus $X$ approximieren. Weil also $x_0<c$ ist, muss es ein $x\in X$ geben, so dass $x\leq c$. Aus der Annahme folgt mit $c\in [x,y_0]$, dass $c\in X$ sein muss. Also $(x_0,y_0]\subseteq X$.

Ich habe nun das Gefühl, dass das Argument ganz am Schluss falsch ist. Ich gehe noch einig, dass man ein $x\in X$ finden kann mit $x\leq c$. Deswegen kann man mit der Annahme aus der Aufgabenstellung auch auf $c\in X$ schliessen. Jedoch gilt dies nur für Elemente $c$ aus dem abgeschlossenen Intervall $[x,y_0]$. Daraus darf man meines Erachtens jedoch nicht auf $(x_0,y_0]\subseteq X$ schliessen. Denn dann würden sie ja sagen, dass dieses $x$ welches sie gefunden haben für alle $c\in (x_0,y_0]$ die Ungleichung $x\leq c$ erfüllen muss. Dies ist jedoch nicht möglich, da sonst $x$ als ein Minimum definiert wäre. Dieses gibt es jedoch hier nicht. Ich hoffe, es ist einigermassen verständlich, was ich meine...

Vielen Dank jetzt schon für eure Antworten!😃



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-11


Hallo Sandrob,

der Beweis verläuft hier wie folgt.

Sei $c\in(x_0,y_0]$ beliebig ... blabla ... es folgt \(c\in X\).

Damit ist \((x_0,y_0]\subseteq X\) gezeigt.



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-12


Hallo StrgAltEntf,

Vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube die allgemeine Beweisidee sollte ich schon verstanden haben, also wir wollen halt die beidseitigen Mengeninklusionen zeigen ($(x_0,y_0]\subseteq X$ und auch $X\subseteq (x_0,y_0]$). Jedoch finde ich das Argument in der Musterlösung widersprüchlich...

Meiner Meinung nach wird in diesen (siehe mein 1. Beitrag) nämlich nur die Mengeninklusion $[x,y_0]\subseteq X$ für eine festes $x\in X$ gezeigt und daraus schliessen sie dann auf $(x_0,y_0]\subseteq X$.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-12


2020-05-12 07:29 - Sandrob in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich glaube die allgemeine Beweisidee sollte ich schon verstanden haben, also wir wollen halt die beidseitigen Mengeninklusionen zeigen ($(x_0,y_0]\subseteq X$ und auch $X\subseteq (x_0,y_0]$). Jedoch finde ich das Argument in der Musterlösung widersprüchlich...

Meiner Meinung nach wird in diesen (siehe mein 1. Beitrag) nämlich nur die Mengeninklusion $[x,y_0]\subseteq X$ für eine festes $x\in X$ gezeigt und daraus schliessen sie dann auf $(x_0,y_0]\subseteq X$.

Das x ist ja gar nicht fest; es wird abhängig von c gewählt. Und schließlich steht da \(c\in X\). Zweifelst du an diesem letzten Schritt?



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-12


Ja, meine Zweifel liegen auf jeden Fall beim letzten Schritt😁.

Ich habe mir in der Zwischenzeit den Beweis noch ein bisschen ausführlicher aufgeschrieben und es kommt langsam Licht ins Dunkle (hoffe ich zumindest). Vielleicht schreibe ich mein "Beweis" kurz auf und dann kann ich ja noch kommentieren, wo ich noch meine Zweifel habe.

"Wählen wir ein beliebiges $c\in (x_0,y_0]$. Weil $x_0$ als das Infimum der Menge X definiert ist, gibt es nach der folgenden Charakterisierung für Infima:\[\forall \varepsilon >0\exists x\in X: x_0+\varepsilon >x\] also ein $\varepsilon >0$, welches die Bedingung $x_0+\varepsilon =c$ erfüllt. Dann gilt $x<c=x_0+\varepsilon$ und somit gilt auch $x\leq c$. Hier bin ich mir nun nicht mehr sicher. Darf ich von der strikten Ungleichung "einfach so" auf die Kleiner-Gleich-Relation hinübergehen?
Dann würde ich den Beweis so fortsetzen:
Da nun $x\leq c$ gilt, ist $c\in [x,y_0]$ und nach der Annahme gilt nun $c\in X$. Da $c$ beliebig im halboffenen Intervall $(x_0,y_0]$ gewählt ist, gilt $(x_0,y_0]\subseteq X$. Weiterhin ist per Definition vom Infimum und vom Supremum kein Element in $X$ strikt kleiner als $x_0$ und keines strikt grösser als $y_0$. Deswegen folgt auch $X\subseteq (x_0,y_0]$ und somit $X=(x_0,y_0]$.

Sind meine Argumente stichhaltig oder habe ich noch Fehler im Beweis😉?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-12


2020-05-12 09:00 - Sandrob in Beitrag No. 4 schreibt:
1) Hier bin ich mir nun nicht mehr sicher. Darf ich von der strikten Ungleichung "einfach so" auf die Kleiner-Gleich-Relation hinübergehen?

2) Da nun $x\leq c$ gilt, ist $c\in [x,y_0]$ und nach der Annahme gilt nun $c\in X$.

3) Deswegen folgt auch $X\subseteq (x_0,y_0]$ und somit $X=(x_0,y_0]$.

1) Natürlich darfst du das. \(a\leq b\) heißt ja, dass a < b oder a = b ist. Wenn a < b, dann gilt a < b oder Irgendwas, wobei Irgendwas eine Aussage deiner Wahl ist. Insbesondere gilt das also, wenn Irgendwas die Aussage a = b ist. Umgekehrt darfst du selbstverständlich nicht folgert.

2) Das ist aber doch dasselbe Argument wie oben.

3) Hier sollte noch erwähnt werden, dass \(x_0\) kein Element von X ist, sonst würde das nicht gelten.

Grüße
StrgAltEntf



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Sandrob
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2020-05-12 10:46 - StrgAltEntf in Beitrag No. 5 schreibt:
1) Natürlich darfst du das. \(a\leq b\) heißt ja, dass a < b oder a = b ist. Wenn a < b, dann gilt a < b oder Irgendwas, wobei Irgendwas eine Aussage deiner Wahl ist. Insbesondere gilt das also, wenn Irgendwas die Aussage a = b ist. Umgekehrt darfst du selbstverständlich nicht folgert.

2) Das ist aber doch dasselbe Argument wie oben.

3) Hier sollte noch erwähnt werden, dass \(x_0\) kein Element von X ist, sonst würde das nicht gelten.

1) Stimmt, ich war mir nie richtig sicher, ob ich das wirklich so verwenden darf, aber deine Logik-bezogenen Argumente ergeben völlig Sinn.

2) Genau, ich habe nun gemerkt, dass man dieses $x$ gar nicht universell definieren muss/darf, sondern es von $c$ abhängt und dann sehe ich keinen Widerspruch mehr. Ich habe jedoch ein bisschen Zeit gebraucht, um zu bemerken, dass das gewählte $x$ von $c$ abhängt.

3) Dies habe ich in meinem Beweis wirklich vergessen. Natürlich sollte am Anfang noch eine Annahme stehen, wo $x\notin X$ notiert wird. Danke dir für den Hinweis!



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