Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Komplement und Allklasse
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Komplement und Allklasse
chutneypreisel
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.05.2020
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-24


Ich bin verwirrt.

Ich habe gelesen dass das Komplement der Allklasse die leere Menge ist und umgekehrt (natürlich) die leere Menge das Komplement der Allklasse.

(Hier zum Nachlesen:

Wie kann das sein? Die leere Menge ist ja nicht nichts, sondern eine Menge.
1. Wenn die Grundmenge U = V (also die Allklasse) dann ist jede Menge, die man rausgreift selbst eine Menge.
(2. Die Leere Menge ist Teilmenge jeder Menge (auch ihrer selbst) --> die beiden Komplementären Mengen haben immer eine gemeinsame Teilmenge. Ja kann denn das erlaubt sein? ;-) Aber ok, ich nehme an das ist so.)
3. Da die leere Menge eine Menge ist, und die Elemente der Allklasse eben alle Mengen sind muss doch gelten, dass auch die leere Menge Element der Allklasse ist (und nicht nur Teilmenge).
4. Greifen wir nun aus V eine Menge A heraus zu der wir das Komplement A' haben wollen. Und sagen wir A = leere Menge. Dann ist A' V ohne A, also V ohne die leere Menge.
5. dann haben wir aber: "Das Komplement der Leeren Menge ist die Allklasse ohne die leere Menge" und das ist nicht dasselbe wie "Das Komplement der leeren Menge ist die Allklasse." Die Mächtigkeit der Allklasse wäre ja um eins reduziert, bzw. die Allklasse ohne die leere Menge kann doch nicht mehr die Allklasse sein, oder?

Oder noch mal ganz anders (bin nicht sicher ob es sich um dieselbe Frage handelt):
Damit eine Menge ein Komplement haben kann, braucht es eine Grundmenge, die mächtiger ist als die Menge zu der das Komplement gebildet werden soll, oder? Es kann aber doch nichts "größeres" als die Allklasse geben, da sie ja selbst kein Element sein darf.  

Kann jemand meine Verwirrung kurieren?






Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1719
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Für beliebige Klassen $X$ ist $X \setminus \emptyset = X$. Dabei ist es egal, ob $\emptyset$ in X als Element vorkommt, oder nicht.

2020-05-24 11:59 - chutneypreisel im Themenstart schreibt:
5. dann haben wir aber: "Das Komplement der Leeren Menge ist die Allklasse ohne die leere Menge" und das ist nicht dasselbe wie "Das Komplement der leeren Menge ist die Allklasse." Die Mächtigkeit der Allklasse wäre ja um eins reduziert, bzw. die Allklasse ohne die leere Menge kann doch nicht mehr die Allklasse sein, oder?
Rechts vom \ steht immer eine Klassen bzw. Menge. Und *deren Elemente* sind die, die im Ergebnis der Operation nicht als Elemente vorkommen.

{1,2,3,4,5}\{3} = {1,2,4,5},
{1,2,3,4,5}\{{3}} = {1,2,3,4,5} (oder ergibt keinen Sinn, je nachdem, wie typspezifisch man \ haben will),
{1,2,3,4,5}\3 ergibt keinen Sinn, oder ={1,2,3,4,5}, oder ={3,4,5}, je nachdem, wie typspezifisch man \ haben will, und wie man natürliche Zahlen als Mengen interpretieren darf oder muss.
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5999
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-24


Hallo chutneypreisel,

2020-05-24 11:59 - chutneypreisel im Themenstart schreibt:
4. Greifen wir nun aus V eine Menge A heraus zu der wir das Komplement A' haben wollen. Und sagen wir A = leere Menge. Dann ist A' V ohne A, also V ohne die leere Menge.

Kann es sein, dass du hier \(V\setminus\emptyset\) und \(V\setminus\{\emptyset\}\) verwechselst?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
chutneypreisel
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.05.2020
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


Hallo StrgAltEnf und tactac,

vielen Dank für eure Antworten.

Meine Verwirrung hat so angefangen.

Wenn eine Menge A sagen wir {1, 2, {}} enthält und eine Menge B nur {1,2}  dann sind A und B nicht gleich mächtig. Und eine Menge A kann nur identisch mit einer Menge B sein, wenn beide gleich mächtig sind.

Wenn die Allklasse V alle Mengen enthält, dann auch die leere Menge (Und die Einermenge der leeren Menge). Wenn wir nun eine zweite Klasse W  annehmen, die alle Mengen bis auf die leere Menge enthält, dann - so habe ich gedacht - kann diese Menge nicht identisch sein mit V. Und, so habe ich vermutet, jede Menge kann nur genau ein (absolutes) Komplement haben. Und wenn V ≠ W dann kann ja nur eines davon das Komplement zur leeren Menge sein und egal welches es ist, stellt sich dann die Frage was das Komplement der anderen Klasse sein soll.

   



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 1719
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 18:01 - chutneypreisel in Beitrag No. 3 schreibt:

Wenn die Allklasse V alle Mengen enthält, dann auch die leere Menge (Und die Einermenge der leeren Menge). Wenn wir nun eine zweite Klasse W  annehmen, die alle Mengen bis auf die leere Menge enthält, dann - so habe ich gedacht - kann diese Menge nicht identisch sein mit V. Und, so habe ich vermutet, jede Menge kann nur genau ein (absolutes) Komplement haben. Und wenn V ≠ W dann kann ja nur eines davon das Komplement zur leeren Menge sein und egal welches es ist, stellt sich dann die Frage was das Komplement der anderen Klasse sein soll.
Das Komplement der leeren Klasse (die üblicherweise auch eine Menge ist), ist V. W ist ungleich V und das Komplement der Klasse, die genau die leere Menge enthält (und selbst eine Menge ist).



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5999
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 18:01 - chutneypreisel in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn die Allklasse V alle Mengen enthält, dann auch die leere Menge (Und die Einermenge der leeren Menge). Wenn wir nun eine zweite Klasse W  annehmen, die alle Mengen bis auf die leere Menge enthält, dann - so habe ich gedacht - kann diese Menge nicht identisch sein mit V. Und, so habe ich vermutet, jede Menge kann nur genau ein (absolutes) Komplement haben. Und wenn V ≠ W dann kann ja nur eines davon das Komplement zur leeren Menge sein und egal welches es ist, stellt sich dann die Frage was das Komplement der anderen Klasse sein soll.

V = Allklasse
\(W = V\setminus\{\emptyset\}\)

Dann ist tatsächlich \(V\neq W\).

Und es ist
\(V^C=\emptyset\)
\(W^C=\{\emptyset\}\)

Auch hier gilt \(V^C\neq W^C\).

Hoffe, jetzt sind alle Unklarheiten beseitigt 🙂

(Übrigens kann man bei der Allklasse nicht von Mächtigkeit sprechen. Die Allklasse besitzt keine Mächtigkeit. Nur Mengen besitzen eine Mächtigkeit. Und: Wenn von einer unendlichen Menge ein Element entfernt wird, ändert sich die Mächtigkeit nicht.)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
chutneypreisel
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.05.2020
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Tactac, StrAltEnf,

nochmal Danke für eure Antworten, die waren sehr hilfreich! Vieles an Verwirrung hat sich bei mir dadurch gelegt.
 
Jetzt bleibt mir nur noch eine Verständnisfrage übrig und ich vermute ihr könnt mir auch das noch klären:  

Soweit ich verstehe stimmt:
1.∅ ist eine Menge
2.∅ kann Element einer anderen Menge sein. z.B. ist sie Element ihrer Potenzmenge= {∅}  
3. Die Allklasse V enthält alle Mengen als Elemente.

Jetzt eine Frage:
stimmt
4. ∅ e V
5. {∅} e V
oder
6. 4.und 5.?

Also ich bin mir ziemlich sicher, dass 5. stimmt, aber wenn auch 6. (und somit 4.) stimmt, dann ergibt sich für mich folgendes Problem:  

Ich kann ja sagen, dass für ein Universum U definitionsgemäß gilt, dass das Komplement einer beliebigen Menge A daraus

7. Ac:= {x: x ∉ A}

ist.

Wenn ∅ aber Element sein kann (und somit auch x in 7. sein kann) und das angenommene U = V , dann kann doch nur stimmen, dass

entweder ∅ e V oder ∅c = V gilt!?


 




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5999
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-25


2020-05-25 19:42 - chutneypreisel in Beitrag No. 6 schreibt:
Jetzt eine Frage:
stimmt
4. ∅ e V
5. {∅} e V
oder
6. 4.und 5.?

6 ist richtig. Denn ∅ und {∅} sind Mengen, und V enthält jede Menge.

2020-05-25 19:42 - chutneypreisel in Beitrag No. 6 schreibt:
dann kann doch nur stimmen, dass
entweder ∅ e V oder ∅c = V gilt!?

Nicht "entweder oder" sonder "und" ist hier richtig. Wo siehst du da ein Problem?

Gruß
StrfAltEntf



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
chutneypreisel
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 07.05.2020
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Das erschien mir nur extrem kontraintuitiv, denn
wenn

 ∅ e V und ∅c = V

stimmt,
dann gibt es zumindest einen Fall für den gilt

Ac e A

und der Gedanke an eine Menge/Klasse die ihr eigenes absolutes Komplement als Element enthält ist schräg.

Aber es ist wohl bloß schräg und nicht irgenwie widersprüchlich.

Also vielen Dank!!!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
chutneypreisel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
chutneypreisel hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]