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Universität/Hochschule Konjugation erhält den Zykeltypus
Natmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-24


Hallo Mathewelt!

Ich beschäftige mich gerade mit meinem "Lieblingsgebiet" - der Algebra. Ich versuche zu beweisen, dass die Konjugation den Zykeltypus erhält. Dazu habe ich auch einen Beweis meiner Universität gefunden, jedoch verstehe ich leider einiges nicht :( Auch andere Beiträge hierzu habe ich in diesem Forum durchstöbert... trotzdem bleibt das Problemchen.

Seien $\pi$, $\sigma$ $\in S_{n}$ wobei $\sigma = \left(i_{1}...i_{r}\right)$.
Zu zeigende Behauptung: $\pi$ $\sigma$ ${\pi}^{-1}$ = $\left(\pi(i_{1})…\pi(i_{r})\right)$

Nun zu meinem Problem: Hier wird eine Fallunterscheidung in 3 Fällen gemacht. Zuerst zum ersten Fall:

Fall 1: Sei $x = \pi(i_{j})$, $j \in \{1,...,r-1\}$
Die linke Seite ist mir klar: $\left(\pi\sigma {\pi}^{-1}\right)(x) = \pi \sigma {\pi}^{-1} \left(\pi(i_{j})\right)$ = (assoziativ) $\pi \sigma \left({\pi}^{-1} \circ \pi)(i_{j})\right) = \pi \sigma(i_{j}) = \pi(i_{j+1})$
Nun zur rechten Seite die ich nicht ganz verstehe:
$\left(\pi(i_{1})…\pi(i_{r})\right)(\pi(i_{j})) = \pi(i_{j+1})$

Mir ist klar, dass $\pi(i_{j})$ erstmal eine Art Funktionswert ist, wobei $i_{j}$ dabei auf $\pi(i_{j})$ abgebildet wird. Und $\left(\pi(i_{1})…\pi(i_{r})\right)$ ist ein Zykel, der jeweils $\pi(i_{1})$ auf $\pi(i_{2})$ usw abbildet.
Irgendwie macht es Sinn, dass als Ergebnis des ganzen $\pi(i_{j+1})$ rauskommt (muss es ja auch, siehe linke Seite). Aber andererseits verknüpfe ich dies wie einen Zykel und komme dabei auf $\left(\pi(i_{1})…\pi(i_{r})\right)$ raus.


Um meine Verwirrung klarer darzustellen ein Beispiel:

Sei $ \sigma= (123)$ also hier $(\sigma(1)=2$, $\sigma(2)=3$ und $\sigma(3)=1$ und $x = \sigma(i_{r})$ sei hier $ 1 \mapsto \sigma(1) = 2$
Dann habe ich: $(123)\circ \sigma(1) = (123)$ und leider nicht $\sigma(2) =3$.

Wo liegt mein Fehler?

Ich wäre euch sehr dankbar über eure Hilfe!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

entweder verstehe ich deine Frage
2020-05-24 15:12 - Natmath im Themenstart schreibt:
Nun zur rechten Seite die ich nicht ganz verstehe:
$\left(\pi(i_{1})…\pi(i_{r})\right)(\pi(i_{j})) = \pi(i_{j+1})$
nicht, oder du hast sie schon selbst beantwortet:

Und $\left(\pi(i_{1})…\pi(i_{r})\right)$ ist ein Zykel, der jeweils $\pi(i_{1})$ auf $\pi(i_{2})$ usw abbildet.
Aus deinem "usw" folgt unmittelbar, dass $\pi(i_j)$ auf $\pi(i_{j+1})$ abgebildet wird.


Um meine Verwirrung klarer darzustellen ein Beispiel:

Sei $ \sigma= (123)$ also hier $(\sigma(1)=2$, $\sigma(2)=3$ und $\sigma(3)=1$ und $x = \sigma(i_{r})$ sei hier $ 1 \mapsto \sigma(1) = 2$
Dann habe ich: $(123)\circ \sigma(1) = (123)$ und leider nicht $\sigma(2) =3$.
Den Zusammenhang zwischen deinem Beispiel und dem Beweis verstehe ich nicht, aber einen Fehler habe ich gefunden:
Die Gleichung $(123)\circ \sigma(1) = (123)$ ist falsch, denn links steht (der Deutlichkeit wegen benutze ich ausnahmsweise eckige Klammern um Funktionsanwendungen darzustellen)
\[(123)\circ \sigma[1]  = ((123)\circ \sigma)[1] = (123)[ \sigma[1]] = (123)[2] = 3,\] also eine Zahl, während rechts $(123)$ steht, also eine Permutation.
\(\endgroup\)


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