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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Bell-Zustände als Vektor?
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Universität/Hochschule Bell-Zustände als Vektor?
Ephraim
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-24


Hallo zusammen,

ich habe mir das Paper "Was man von zwei Qubits über Quantenphysik lernen kann: Verschränkung und Quantenkorrelationen" hier angesehen. Dort wird zunächst (in Gl. 2-6) erklärt, wie man sich die vier grundzustände als Vektor vorstellen kann. Später (in Gl. 10) geht es dann auch um die Bell Zustände, die die verschränkung zeigen. Es wird gesagt, dass es sich um eine Ungleichung handle, was ich nicht verstehe. Ich würde gerne Wissen wie die Bell Zustände in dieser Vektornotation aussähen wurden.

Hier ein Paar gedanken, die ich mir zum Vektor aus Gl. 9 gemacht habe, sind die richtig?
Wenn die Zustände |00 und |11 nicht verschränkt wären wäre in dem 4-D Vektor  
(ac, ad, bc, bd)^T
alle variablen 1/2. Der Vektor zu |00 und |11 wäre also je
(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)^T
sodass der Vektor
1/sqrt(2)(|00+|11) = 1/(sqrt(2)2)*(1, 1, 1, 1)^T
wäre.

Im verschränkten Zustand wären c und d jedoch je nach Messung des ersten Zustandes 0 oder 1. Ich würde so auf folgendes kommen
|00+|11 = 1/2(1, 0, 0, 1)^T + 1/2(1, 0, 0, 1)^T
also genau auf das was in Gl. 10 als falsch beschrieben wird.
an welcher Stelle klappt es hier nicht?



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-25


Hallo und willkommen im Forum!
Du scheinst hier einiges misszuverstehen. Der Bell-Zustand
$$\left|\phi^{+}\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|00\right\rangle+\left|11\right\rangle\right)$$ ist wegen $\left|00\right\rangle=(1,0,0,0)^T$ und $\left|11\right\rangle=(0,0,0,1)^T$ (Gl. {2}) gegeben durch die Vektordarstellung
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left((1,0,0,0)^T+(0,0,0,1)^T\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,0,1)^T\enspace,$$ da gibt es nichts dran zu rütteln. Allerdings existieren keine $\alpha,\beta,\gamma,\delta$, sodass Gl. {10} richtig sein kann. Denn aus $\alpha\delta=0$ folgt, dass $\alpha=0$ oder $\delta=0$ (oder beide), dann müsste aber auch $\alpha\gamma=0$ oder $\beta\delta=0$ sein (oder beide), was nicht der Fall ist. Diese Darstellung wurde aber unter der Annahme einer Produktdarstellung
$$\left|\Phi\right\rangle=\left|\Psi_A\right\rangle\otimes\left|\Psi_B\right\rangle$$ hergeleitet, welche mit diesem Widerspruch verworfen werden muss.

Dein zweiter Abschnitt macht relativ wenig Sinn, aber betrachten wir mal
$$\frac{1}{2}(1,1,1,1)^T\enspace.$$ Hier lässt sich Gl. {10} erfüllen, und zwar mit $\alpha=\beta=\gamma=\delta=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Damit lässt sich dies als Produktzustand schreiben (ist also nicht verschränkt), und zwar als
$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\otimes\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle\right)\otimes\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left|0\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\left|1\right\rangle\right)$$ $$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)\enspace.$$ Umgekehrt sieht man direkt durch Auflösen der Klammern
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|0\right\rangle+\left|1\right\rangle\right)=\frac{1}{2}\left(\left|0\right\rangle\left|0\right\rangle+\left|0\right\rangle\left|1\right\rangle+\left|1\right\rangle\left|0\right\rangle+\left|0\right\rangle\left|1\right\rangle\right)
=\frac{1}{2}\left((1,0,0,0)^T+(0,1,0,0)^T+(0,0,1,0)^T+(0,0,0,1)^T\right)=\frac{1}{2}(1,1,1,1)^T\enspace.$$



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Ephraim
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


Moin,
Danke erst einmal.

ich denke ich habe die ungleichung nun etwas besser verstanden.

kann ich den Bell Zustand so berechnen?
hier
gamma und delta ändern sich dann je nachdem was zuvor für alpha bzw. beta gemessen wurde.

Edit: das 1/2 am ende sollte das 1/sqrt2 sein für die normierung (die ich am anfang auch vergessen habe)



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-25


Wie du schon sagst, muss überall zur Normierung $\frac{1}{\sqrt{2}}$ stehen - also auch in der Mitte. Diese stimmt aber auch sonst noch nicht, es kann doch nicht sein, dass dort zweimal dasselbe steht?



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Ephraim
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


ich hätte gedacht, dass in dem Zustand für die erste Messung die Wahrscheinlichkeit je 1/2 für |0 oder |1 ist und sich dann entsprechend die Wahrscheinlichkeit der zweiten Messung anpasst.
Aber ja, dass dann beide Vektoren gleich sind ist komisch.
also werden die Basisvektoren |00 und |11 einfach addiert für (1,0,0,1)^T ?



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-25


2020-05-25 11:11 - Ephraim in Beitrag No. 4 schreibt:
ich hätte gedacht, dass in dem Zustand für die erste Messung die Wahrscheinlichkeit je 1/2 für |0 oder |1 ist und sich dann entsprechend die Wahrscheinlichkeit der zweiten Messung anpasst.

Ich bin nicht ganz sicher was du meinst. Jedenfalls: Wenn auf $A$ 0 oder 1 gemessen wurde (mit Wahrscheinlichkeit je 50 %) ist die Wahrscheinlichkeit, auf $B$ nun 0 bzw. 1 zu messen nun 100 %.

2020-05-25 11:11 - Ephraim in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber ja, dass dann beide Vektoren gleich sind ist komisch.
also werden die Basisvektoren |00 und |11 einfach addiert für (1,0,0,1)^T ?

Natürlich, es ist doch einfach ein Additionszeichen dazwischen. Nur normieren muss man noch richtig.



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Ephraim
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-25


ja, das ergebniss des zweiten Qubits wird durch die Messung des ersten diktiert (ich dachte, dass dies auch als Vektor so ausdrückbar wäre, aber dann lass ich das lieber)



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